习　题　2

1.试根据定义，讨论f（z）=|z|2的可导性.

2.利用定义求下列函数的导数：

（1）f（z）=z2 ；

（2）

3.下列函数何处可导？何处解析？

（1）f（z）=x2-iy；

（2）f（z）=xy2+ix2y；

（3）f（z）=sinxchy+icosxshy；

（4）f（z）=2x3+3y3i；

（5）f（z）=z2+2iz；

（6）

4.指出下列函数的奇点：

（1）

（2）

5.求下列函数的导数并指明其解析域：

（1）f（z）=（z+3）6；

（2）f（z）=sinz+3iz；

（3） 

（4）

6.判断下列命题真假：

（1）若f（z）在z0连续，则f（z）在z0可导.

（2）若f（z）在z0可导，则f（z）在z0解析.

（3）如果z0是f（z）的奇点，则f（z）在z0不可导.

（4）若z0是f（z）与g（z）的一个奇点，则z0也是f（z）+g（z）和f（z）/g（z）的一个奇点.

（5）若u（x，y），v（x，y）可微，则f（z）=u+iv可导.

（6）

（7）在复平面内，函数ez，z3，sinz，cosz解析，而不解析.

（8）lnz在复平面内处处解析.

7.若f（z）=u+iv是z的解析函数，而且

u-v=（x-y）（x2+4xy+y2），

试求u（x，y）与v（x，y）.

8.如果f（z）=u+iv在区域D内解析，并且满足下列条件之一，试证f（z）在D内是一个常数.

（1）u为常数或v为常数；

（2）|f（z）|在区域D内是一常数；

（3）f（z）恒为实数；

（4）在区域D内解析；

（5）argf（z）在区域D内是一常数；

（6） au+bv=c，其中a，b，c为不全为零的实常数.

9.设f（z）=my3+nx2y+i（x3+lxy2）为解析函数，试求m，n，l的值.

10.试证明柯西-黎曼方程的极坐标形式是

11.试证明：

（1）；

（2）

（3）

12.求解下列方程：

（1） cosz=0；　（2）ez+1=0；　（3）sinz+cosz=0；　（4）cosz=ishz.

13.在复变函数中洛必达（L·Hospital）法则仍然成立.若f（z），g（z）在点z0解析，且f（z0）=g（z0）=0，g'（z0）≠0，试证

14.求Ln（-i），Ln（-3+4i）的值及其主值.

15.求，，3i，（1+i）i的值.

16.求，1-i，ii，（3-4i）1+i的值.

17.实三角函数公式几乎都适用于复变三角函数，试证：

（1）sin2z=2sinzcosz；

（2）

（3）

（4）cos（z+π）=-cosz；

（5）|cosz|2=cos2x+sh2y；

（6）|sinz|2=sin2x+sh2y.

18.对双曲函数求证下列公式成立：

（1）ch2z-sh2z=1；

（2）ch2z+sh2z=ch2z；

（3）sh（z1+z2）=shz1chz2+chz1shz2；

（4）ch（z1+z2）=chz1chz2+shz1shz2.

19.用13题的结果证明下列极限：

（1）；

（2）；

（3）

20.填空题

（1）若函数f（z）在z0点解析，则（　　）.

（2）函数f（z）在z0点的导数为0，则（　　）.

（3）函数f（z）在z0点可导，则（　　）.

（4）指数函数ez在整个复平面内处处（　　），且是以（　　）为基本周期的周期函数.

（5）对数函数在（　　　　　　　）的复平面内处处（　　）.

（6）sinz和cosz在整个复平面内处处（　　），且是以（　　）为周期的周期函数.

（7）在复数域内断言|sinz|≤1和|cosz|≤1是（　　　）.

（8）函数f（z）=u（x，y）+iv（x，y）在区域D内解析的充要条件是（　　　）.

（9）函数f（z）=u（x，y）+iv（x，y）在点z0=x0+iy0处可导的充要条件是（　　）.

（10）如果函数f（z）在点z0的某个邻域内处处可导，则f（z）在点z0处（　　）.

21.单项选择题

（1）下列说法正确的是（　　）.

（A）若f（z）在z0处可导，则f（z）在z0处解析

（B）若f（z）在z0处连续，则f（z）在z0解析

（C）若f（z）在z0处可导，则f（z）在z0处连续

（D）若f（z）在z0处解析，则f（z）仅在z0处可导

（2）函数f（z）=u（x，y）+iv（x，y）的柯西黎曼条件是（　　）.

（A）

（B）

（C）

（D）

（3）若f（z）在z0处可导，则（　　）.

（A） f（z）在z0处解析

（B） f（z）在z0处连续

（C）f（z）在z0处未必连续

（D） 以上都不对

（4）函数f（z）=u（x，y）+iv（x，y）在区域D内解析的条件是（　　）.

（A）u（x，y），v（x，y）在区域D内可微

（B）在区域D内

（C）在区域D内u（x，y），v（x，y）可微且

（D）以上都不对

（5）若f（z）在z0处解析，则（　　）.

（A） f（z）仅在z0处可导

（B） f（z）在z0不可导

（C）f（z）在z0的某个邻域内可导

（D） 以上都不对

（6）函数f（z）=u（x，y）+iv（x，y）在z0=x0+iy0处可导的充要条件是（　　）.

（A）u（x，y），v（x，y）在（x0，y0）可微

（B）在z0处

（C）在z0处u（x，y），v（x，y）可微且

（D）f（z）在z0解析

（7）函数f（z）在z0处解析的条件是f（z）在z0的某个邻域内（　　）.

（A）处处可导

（B）连续

（C） 未必处处可导

（D）只在z0处可导

（8）若f（z）在z0处解析，则f（z）在z0处（　　）.

（A）连续未必可导　　（B） 可导未必连续

（C）连续　　（D） 不可导

（9）函数f（z）在z0处连续的充要条件是f（z）在z0（　　）.

（A）可导　　（B）存在

（C）

（D）解析

（10）若f（z）在z0处解析，则f（z）在z0处（　　）.

（A）连续未必可导　　（B） 可导未必连续

（C）可导并连续　　（D） 仅连续