本章主要内容

1.导数的定义

设f（z）=u（x，y）+iv（x，y）， 存在，称f（z）在z处可导，且

应特别注意Δz→0的方式是任意的.若在某种方式下，上述极限不存在，或某两种方式下极限不相等，则f（z）不可导.

若f（z）在区域D内处处可导，则称f（z）在D内可导.

2.可导与连续的关系

f（z）在z0处可导，则 f（z）在z0处连续，反之未必成立.

3.求导法则

设f（z），g（z）可导，C为常数，则有

（1）［f（z）±g（z）］'=f'（z）±g'（z）；

（2）［f（z）g（z）］'=f'（z）g（z）+f（z）g'（z）；

（3）

（4）{f［g（z）］}'=f'（w）g'（z），其中w=g（z）；

（5），其中w=f（z）与z=φ（w）是两个互为反函数的单值函数，且φ'（w）≠0；

（6）（C）'=0.

4.解析函数

若函数f（z）在点z0的某个邻域内（包含点z0）处处可导，则称f（z）在点z0解析.

若f（z）在区域D内每一点都解析，称f（z）是D内的解析函数.

5.解析与可导的关系

f（z）在区域D内可导与f（z）在区域D内解析等价；而f（z）在z0可导与f（z）在z0解析不等价，即函数在一点可导未必在此点解析.

6.奇点

若f（z）在z0不解析，称z0为f（z）的奇点.

7.解析的充要条件

函数f（z）=u（x，y）+iv（x，y）在区域D内解析的充要条件是二元实函数u（x，y）和v（x，y）在D内任一点z=x+iy可微且满足柯西-黎曼方程

若函数u（x，y）和v（x，y）在D内一阶偏导数连续，且满足柯西-黎曼方程，则f（z）在D内解析.

若f（z）在区域D内不满足柯西-黎曼方程，显然，f（z）在D内不解析.

8.函数f（z）=u（x，y）+iv（x，y）在D内某点z0=x0+iy0可导的充要条件

函数f（z）在D内某一点z0=x0+iy0处可导的充要条件是u（x，y），v（x，y）在点z0=x0+iy0可微且满足柯西-黎曼方程.

9.若f（z）解析，则f'（z）亦解析，且f（z）具有任意阶导数（此论断将在复变积分中证实）.

10.初等函数

（1）指数函数　对任意的复数z=x+iy，规定函数w=ex（cosy+isiny）为复数z的指数函数记作w=ez=ex（cosy+isiny）或exp（z）=ex（cosy+isiny）.

ez是以2πi为基本周期的周期函数，在整个复平面内解析，且 （ez）'=ez.

（2）对数函数　把指数函数的反函数称为对数函数.

Lnz=ln|z|+iarg（z）+2kπi的主值对数lnz=ln|z|+iarg（z） ，

lnz在除去原点及负实轴的复平面内解析，且

（3）幂函数　对于任意复数α及复变量z≠0，定义幂函数w=zα为

zα的各个分支在除去原点及负实轴的复平面内解析且（zα）'=αzα-1.