2.4　解析函数的应用

2.4.1　平面向量场

本小节我们讨论平行于一个平面的定常向量场.这就是说：第一，这个向量场中的向量是与时间无关的；第二，这个向量场中的向量都平行于某一个平面S0，并且在垂直于S0的任何一条直线上所有的点处，这个场中的向量（就大小与方向来说）都是相等的.显然，在所有的平行于S0的平面内，这个向量场的情形都完全一样.因此，这个向量场可以由位于平面S0内的向量所构成的一个平面向量场完全表示出来.

我们把平面S0取作z平面，于是向量场中每个向量便可以用复数来表示.这样可以用解析函数来研究平面向量场的问题.

由于解析函数的发展是与流体力学密切联系的，因此，在下面介绍平面向量场与解析函数的关系时，我们采用流体力学中的术语.尽管所讲述的内容，都是可以关系着各种不同物理特性的向量场.

假设流体是质量均匀的，并且具有不可压缩性，也就是说密度不因流体所处的位置以及受到的压力而改变.我们就假设其密度为1.流体的形式是定常（即与时间无关）的平面流动.所谓平面流动是指流体在垂直于某一固定平面的直线上各点均有相同的流动情况（图2.4.1）.流体层的厚度可以不考虑，或者认为是一个单位长.

1.流量与环量

设流体在z平面上某一区域D内流动，v（z）=p+iq是在点z∈D处的流速，其中p=p（x，y），q=q（x，y）分别是v（z）的水平及垂直分速，并且假设它们都是连续的.

下面考查流体在单位时间内流过以A为起点，B为终点的有向曲线γ（图2.4.2）一侧的流量（实际是流体层的质量）.为此取弧元ds，n为其单位法向量，它指向曲线γ的右边（顺着A到B的方向看）.显然，在单位时间内流过ds的流量为vnds（vn是v在n上的投影），再乘上流体层的厚度以及流体的密度（取厚度为一个单位长，密度为1）.因此，这个流量的值就是

vnds

这里ds为切向量dz=dx+idy之长.当v与n夹角为锐角时，流量vnds为正；夹角为钝角时为负.

令

是顺正向的单位切向量.故恰好可由旋转得到，即

于是得在上的投影为

用Nγ表示单位时间内流过的流量，则

　　　（2.4.1）

在流体力学中，还有一个重要的概念，即流速的环量.它定义为：流速在曲线γ上的切线分速沿着该曲线的积分，用Γγ表示.于是

　　　（2.4.2）

现在我们可以借助于复积分来表示环量和流量.为此，我们用i乘Nγ，再与Γγ相加即得环流量

即

我们称为复速度.

2.无源、无漏的无旋运动

假设p=p（x，y），q=q（x，y）在区域D内连续且具有连续偏导数，γ是D内的任意一条正向简单闭曲线且它所围的闭域为G，则由式（2.4.1）、式（2.4.2）和格林公式有

　　　（2.4.3）

　　　（2.4.4）

流体流动，如果对D内任意一条正向简单闭曲线γ来说，流体不向外流出，则称为在D内无源；如果流体不向内流入，则称为在D内无漏洞.

如果既无源又无漏洞，这时对D内任意一条正向简单闭曲线来说，流量为零.由式（2.4.3）知：

流体在D内无源、无漏洞的充要条件是，在D内，p和q满足条件

流体流动，如果对D内任意一条正向简单闭曲线γ来说，环量为零，则称为在D内无旋涡.

由式（2.4.4）知：

在D内无旋涡的充要条件是，在D内，p和q满足条件

在流体力学中，对于无旋流动的研究是很重要的.由上可知：

流体在D内作无源、无漏的无旋运动的充要条件是，其中γ是D内任意一条正向简单闭曲线.

由定理2.2.1知无源、无漏的无旋流动特征是在该流动区域D内解析.

3.复势

设在区域D内有一无源、无漏的无旋流动，从以上的讨论，即知其对应的复速度为解析函数.如果函数f（z）在区域D内满足，我们称f（z）为对应此流动的复势.

对于无源、无漏的无旋流动，复势总是存在的；如果略去常数不计，它还是唯一的.这是因为是解析函数，由下式确定的

（请参阅3.3柯西积分定理一节内容）

就是复势，其中z、z0属于D.当D为单连通时，f（z）为单值解析函数.当D为多连通时，f（z）可能为多值解析函数.但它在D内任何一个单连通子区域均能分出单值解析分支.

设f（z）=φ（x，y）+iψ（x，y）为某一流动的复势.我们称φ（x，y）为所述流动的势函数，称φ（x，y）=k（k为实常数）为势线；称ψ（x，y）为所述流动的流函数，称ψ（x，y）=k（k为实常数）为流线.

因为

所以

p=φx=ψy，q=-ψx=φy.　（C-R条件）

又因流线上的点z（x，y）的速度方向与该点的切线方向一致，即流线的微分方程为

即

ψxdx+ψydy=0.

而ψ（x，y）为调和函数，我们有ψyx=ψxy，于是　dψ（x，y）=0，所以ψ（x，y）=k就是流线方程的积分曲线.

流线与势线在流速不为零的点处互相正交.

我们用复势刻画流动比用复速度方便.因为由复势求复速度只用到求导数，反之则要用积分.另外，由复势容易求流线和势线，这样就可以了解流动的概况.

【例2.4.1】　考察复势为f（z）=az的流动情况.

解　设a>0，则势函数和流函数分别为：

φ（x，y）=ax，ψ（x，y）=ay，

故势线是x=C1；流线是y=C2（C1，C2均为实常数）.这种流动称为均匀常流（图2.4.3）.

当a为复数时，情况相仿，势线和流线也是直线，只是方向有了改变.这时的速度为

【例2.4.2】　设复势为f（z）=z2，试确定其流线、势线和速度.

解　势函数和流函数分别为

φ（x，y）=x2-y2，　ψ（x，y）=2xy，

故流线与势线是互相正交的两族等轴双曲线（图2.4.4）.

在点z处的速度

2.4.2　解析函数在车流计算中的应用

当代城乡的交通问题十分突出，在一条漫长的高速公路或城市的主干道上，各种疾行的车辆宛如管子内急流的液体.研究单向车流的速度和数量，对于减少事故、控制污染等有着十分重要的意义.

首先，把单向车流v=P（x，y）+iQ（x，y）看作是一个不可压缩的、定常的理想流体流速场，易知它是一个无源场和无旋场，则其散度和旋度分别等于零，亦即

　　　（2.4.5）

　　　（2.4.6）

由式（2.4.5）知：-Qdx+Pdy是某一个二元函数Ψ（x，y）的全微分，即

　　　（2.4.7）

由式（2.4.6）知：Pdx+Qdy是某一个二元函数Φ（x，y）的全微分，即

　　　（2.4.8）

由式（2.4.7）和式（2.4.8）得

满足柯西-黎曼（Cauch-Riemann）条件，故函数w=f（z）=Φ（x，y）+iΨ（x，y）为一解析函数，这个解析函数就是平面流速场的复势函数，其中，Ψ（x，y）称为流函数，Φ（x，y）称势函数.车流速度为

　　　（2.4.9）

现在转入计算单向车流这一实际问题.首先将其数学化.假定有一条宽10m左右、长度无限且无岔道、无超车现象的公路，选择路上某点为坐标原点，需要研究的位置为流动点（x，y）车流方向为x轴的正向.设在任意时刻t，根据单位时间内通过点（x，y）的车辆数和因堵塞而在点（x，y）附近单位长的公路上单流方向停留的车辆数建立流函数Ψ（x，y）和密度函数ρ（x，y），并计算其势函数

　　　（2.4.10）

作解析函数f（z）=Φ（x，y）+iΨ（x，y），用式（2.4.9）求复值速度函数

再引入灵敏系数λ［因司机的动作反应时间差造成的加速度的改变，与点（x，y）处前后二车的距离成反比］，λ可按下式计算：

其中，q为流量；ρ为车辆密度；ρm为堵塞时的车辆密度.

按上述方法计算得车流速度，即公路上任一点（x，y）处在任意时刻t的任一辆车的速度为

用解析函数计算车流问题，比1983年以来通常采用的微分方程计算的方法更符合实际，更简便易行.因为在过去的计算方法中假设车流是一条直线，事实上，车流并非一条直线，而用微分方程计算，却局限在一维空间里，并不能准确地反映车流的实际情况.如应用解析函数的方法，将车流速度摆在平面流速场中计算，其科学性、实用性都较强.

2.4.3　解析函数在平面静电场中的应用

平面静电场的电势在无源区域满足二维的拉普拉斯方程，且它的等势线族与电场线族是处处正交.而解析函数的实部和虚部都是调和函数，且其梯度向量相互正交.正是由于解析函数的这一性质，它常用来描述一无源区域的平面静电场，并称此解析函数为该电场的复势.通过计算平面静电场的复势，可以得到该电场的等势线族及电场线族方程，从而使得解析函数理论在平面静电场中有重要的应用.

圆柱面的截面图

1.计算无限长均匀带电圆柱面的电场线方程及等势线方程

设有一无限长均匀带电圆柱面，其电荷线密度为ρ，圆柱的半径为r0，置于真空中，由于该带电体的对称性，只需考虑与此带电圆柱面垂直的复平面上的情况.该电场是平面静电场，可以用复势来描述.将复平面的坐标原点取在带电圆柱面的中心轴线上，如图2.4.5所示，在复平面上任一z=reiθ点，电场强度的大小为

　　　（2.4.11）

如果用复数表示，则有如下结论，当r>r0时，

　　　（2.4.12）

当r<r0时，

E（z）=0　　　（2.4.13）

根据电场强度与电势的关系E=-Δv（x，y），即

　　　（2.4.14）

其中，Ex，Ey分别是电场强度E在x和y方向上的分量，v（x，y）为平面静电场的势函数.

设解析函数f（z）=u（x，y）+iv（x，y）为该平面静电场的复势，u（x，y）和v（x，y）分别为电场线函数和势函数，根据复变函数导数的定义、柯西-黎曼条件及式（2.4.14）有

即

则当r<r0时对应的复势为f（z）=c1+ic2.　　　（2.4.15）

其中，c1，c2为实常数，由于该范围内电场强度为零，而电场线的疏密程度反映了电场强度的大小，因而必有c1=0，c2其大小与电势零点的选择有关.

该电场的电场线函数族和等势线函数族分别为

u（r，θ）=0，　v（r，θ）=c2.　　　（2.4.16）

则当r>r0时，该静电场的复势为

　　　（2.4.17）

其中，c3，c4为实常数.

该电场的电场线函数族和等势线函数族分别为

　　　（2.4.18）

　　　（2.4.19）

由式（2.4.16）可知，r<r0时，电场线族为u（r，θ）=0，电势线函数族v（r，θ）=常数，即带电体内无电场线，且是一个等势体；r>r0时，由式（2.4.18）可知电场线函数族为常数，即电场线是通过原点的射线，而由式（2.4.19）可知等势线函数族为r=常数，即等势线为一系列的同心圆.这样就得到了无限长均匀带电圆柱面所产生的电场线族方程、等势线族方程.

2.利用解析函数的性质计算平面静电场的等势线族方程

【例2.4.3】　已知一平面静电场的电场线族是与虚轴相切于原点的圆族，试求等势线族，并求此电场的复势.

分析　欲求等势线族和复势，需要先计算电场线函数，电场线族的方程为

（x-c）2+y2=c2（c为不为零的常数）　　　（2.4.20）

容易认为电场线函数u（x，y）=（x-c）2+y2，但，即这样的u（x，y）不是调和函数.由式（2.4.20）可得，故为使Δu=0，令

适当选择F（t），使Δu=0，为此需要求u（x，y）的二阶偏导数

　　（2.4.21）

　　　（2.4.22）

将式（2.4.21）和式（2.4.22）代入Δu=0得

显然可以得到F″（t）=0，连续积分两次可得F（t）=c1t+c2.于是

　　　（2.4.23）

利用柯西-黎曼条件，求v（x，y）.

利用全微分的定义得

利用凑微法可得

　　　（2.4.24）

由式（2.4.23）、式（2.4.24）可得复势

其中，z0=c2+ic3.

通过以上分析可知利用平面静电场的电场线族方程计算复势的一般步骤，首先根据电场线族方程推导出实部u（x，y）=f（x，y）的一般形式，然后根据Δu是否等于零，判断f（x，y）是否是解析函数的实部.若Δf（x，y）=0，说明f（x，y）是解析函数的实部；若Δf（x，y）≠0，说明f（x，y）并不是解析函数的实部，令t=f（x，y），u（x，y）=F（t）根据Δu=0确定实部u（x，y）的具体形式.最后利用柯西-黎曼条件计算虚部，最终就可以确定复势.根据等势线族方程计算复势的步骤与上述类似.

平面静电场与解析函数存在着一一对应关系，解析函数就是该平面静电场的复势.一般而言，任一既无源又无旋的平面矢量场，总可以构造一个解析函数，即复势与之对应.若采用复势来研究平面静电场，不但形式紧凑，而且可使计算大为简化.