本章主要内容

1.复数

令，x，y均为实数，则z=x+iy称为复数.x称为z的实部，记为Re（z）=x，y称为z的虚部，记为Im（z）=y.

复数z=x+iy的模记为.复数z=x+iy的辐角记为，k=0，±1，±2，…，其中为z辐角主值.主值范围规定为-π<arg（z）≤π，其计算公式为

注意　z=0时，|z|=0，而辐角不定.

用复数的模和辐角表示复数有指数形式z=reiθ，根据欧拉公式eiθ=cosθ+isinθ，又有复数的三角形式z=r（cosθ+isinθ），因此复数的形式基本有三种：

①z=x+iy （代数形式）；

②z=reiθ（指数形式）；

③z=r（cosθ+isinθ） （三角形式）.

这三种形式可以互相转换.代数形式便于加减运算，指数形式便于乘除运算，而三角形式常常作为一个复数计算的最后结果表达式.

2.复数相等

设z1=x1+iy1，z2=x2+iy2，则z1=z2⇔x1=x2，y1=y2.

3.不等式和恒等式

（1）z=x+iy，|x|≤|z|，|y|≤|z|，|z|≤|x|+|y|；

（2）|z1+z2|≤|z1|+|z2|，|z1-z2|≥||z1|-|z2||；

（3）|z1+z2|2≤（|z1|+|z2|）2，

4.共轭复数

设z=x+iy，则为z的共轭复数.z与互为共轭复数，

（1）；

（2）；

（3）

5.四则运算

（1）z1±z2=x1±x2+i（y1±y2）；

（2）z1·z2=（x1x2-y1y2）+i（x1y2+x2y1）；

（3）　（z2≠0）.

6.棣莫弗（De Moivre）公式

（cosθ+isinθ）n=cosnθ+isinnθ.

7.复数的n次方根

设z=wn，记为

则

8.设函数f（z）=u（x，y）+iv（x，y），A=u0+iv0，z0=x0+iy0，则的充要条件是

9.极限四则运算法则

若，则有

（1）；

（2）；

（3）

10.连续性

若，则称函数f（z）在z0处连续；若f（z）在区域D内处处连续，则称函数f（z）在区域D内连续； f（z）在z0处连续的充要条件是f（z）的实部与虚部均在（x0，y0）连续.

11.连续性运算法则

连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍是连续函数；连续函数的复合函数仍是连续函数.