习　题　1

1.设z1=3+4i，z2=-2+3i，计算2z1+3z2.

2.设z=x+iy，　（z≠-1），求Re（w），Im（w）.

3.将下列复数化为三角表示式和指数表示式：

（1）5i ；

（2） ；　　　　　（3）-2；

（4）；　　（5）-2+5i；

（6）-2-i.

4.计算下列各式：

（1） ；

（2）；

（3）；

（4）；

（5），求z2，z3，z4；

（6）；

（7）；

（8）

5.设z=eit，证明：

（1）；

（2）

6.证明　

7.设平面上的点z1，z2和z3满足条件z1+z2+z3=0且|z1|=|z2|=|z3|=1，证明这三点是内接于圆周|z|=1的正三角形顶点.

8.求方程z3+8=0的所有根，并求微分方程y‴+8y=0的一般解.

9.指出下列方程所表示的曲线，并作图.

（1）|z+2|+|z-2|=6；

（2）|z+2|-|z-2|=3；

（3）Im（z+2i）=3；

（4）

10.指出下列方程所表示的曲线（t为实参数），并写出直角坐标系下的方程：

（1）z=-3+4eit；

（2）z=2+i+3eit；

（3）z=t（1+i）；

（4）z=acost+ibsint （a，b为实数）；

（5）；

（6）

11.指出下列点集的平面图形，是否是区域或闭区域，是否有界？

（1）|z|≤|z-4|；

（2）0<arg（z-1）<且Re（z）<3；

（3）|z-5|=6；

（4）0≤arg（z-1）≤；

（5）2≤|z|≤3；

（6）|z+2|+|z-2|≤6；

（7）Re（z）>3；

（8）<arg（z-1）<0.

12.做出下列区域的图形，并指出是否为单连通域和有界域.

（1）|z+2i|>1；

（2）0<arg（z-1）<；

（3）1<|z-i|<3；

（4）|3z+i|<3；

（5）去掉z=iy（0≤y≤2）的复平面.

13.试证arg（z）在原点和负实轴上不连续.

14.填空题

（1）设z1=3+4i，z2=-2+3i，则2z1+3z2=（　　）.

（2）设z=x+iy，，则Re（w）=（　　），Im（w）=（　　）.

（3）在复平面内，方程|z+i|=2表示（　　　　　　）曲线.

（4）在复平面内，方程表示（　　　　　　）.

（5）的三角表示式为（　　　　　　）.

（6）的4个根分别为（　　　　　　）.

（7）设函数f（z）在有界闭区域上连续，则f（z）在上达到它的（　　）.

（8）w3=z是（　　　　　　）函数.

（9）连续函数的和、差、积函数仍然是（　　　　　　）.

（10）函数f（z）在z0点连续，则（　　　　　　）.

15.单项选择题

（1）z1=3+4i，z2=-2+3i，则2z1+3z2=（　　）.

（A）17i

（B）7i

（C）1+7i

（D）12+17i

（2）函数f（z）=u（x，y）+iv（x，y）在z0=x0+iy0连续的条件是（　　）.

（A）u（x，y）在（x0，y0）连续　　　　　（B）v（x，y）在（x0，y0）连续

（C）u（x，y），v（x，y）均在（x0，y0）连续　　　　　（D）以上都不对

（3）z=1+i，则z的三角表达式为（　　）.

（A）

（B）

（C）

（D）

（4），则z的指数表达式为（　　）.

（A）

（B）

（C）

（D）