1.5　复数的应用

复数被广泛应用于理论研究和工程实践等领域，如流体力学、相对论、量子力学、应用数学、普通物理、系统分析、信号分析和电路分析等.例如应用数学中高斯关于“代数基本定理”的证明必须依赖于复数的理论.在求解微分方程时，可以利用拉普拉斯变换将微分方程转变为代数方程求解，而拉普拉斯变换也是基于复数的一种积分变换；自动控制系统的稳定性分析，经常利用系统的传递函数的极点来判断系统的稳定性，而极点就在复平面上；电路分析中求电路的正弦稳态响应时，利用相量法求解分析简单方便，而相量分析法也是基于复数的分析方法；在物理学中如力、速度、加速度等向量都可以用复数来表示，用复数表示向量，可以用两个复数之和表示两个向量如力、速度的合成；在信号与系统分析中最重要的是傅里叶级数和傅里叶变换，可以说是信号与系统分析的核心和灵魂，其他的理论和原理都可以在此基础上建立，在由周期信号的傅里叶级数到非周期信号的傅里叶变换过渡过程中，傅里叶级数的复指数表示形式起到桥梁作用，而傅里叶级数的复指数表示形式及所利用的欧拉公式都涉及复数和复变函数的知识，同样，在信号分析与处理中非常重要的三大变换：傅里叶变换、拉普拉斯变换、Z变换都是信号与某种类型的复指数函数相乘经过积分或求和运算而得到，这三种变换在进行变换时也涉及复数和复变函数.总之，无论是分析信号的频谱，还是分析系统的频率特性以及系统的稳定性，或者是设计数字滤波器，可以毫不夸张地说几乎到处看到复数及复变函数应用的身影.如果没有深刻理解复数的本质，要想真正理解和掌握信号与系统及数字信号处理，那是难以想象的.

下面以复数在平面电磁波和鱼雷或舰艇平面运动中的应用为例，阐释复数在电磁理论和军事方面的应用.

1.5.1　复数在电磁理论中的应用

物理量用复数表示在电工学、量子力学等学科中有广泛的应用，电磁场理论中也是如此.在很多实际情况下，电磁波的激发源往往以大致确定的频率作正弦振荡，因而辐射出的电磁波也以同一频率作正弦振荡.以一定频率作正弦振荡的电磁波满足的基本方程是由麦克斯韦方程组导出的亥姆霍兹（Helmholtz）方程，平面电磁波是亥姆霍兹方程的基本解之一，它具有形式简单，意义明确的特点.在研究电磁场的传播和辐射时，一般采用复数形式表示平面电磁波，在用于表示偏振、吸收和计算等方面应用较多，其优点在于：在数学上复数的计算比三角函数方便，在物理上用复数表示一些物理量要比实数方便.

（1）复数振幅的应用

对于单色平面电磁波，它的表达式为E=E0cos（k·X-ωt），　　　（1.5.1）

它的复数形式是

　　　（1.5.2）

式（1.5.1）是式（1.5.2）取实部的结果.式（1.5.2）中，E0是与坐标x，y，z和时间t无关的常矢量.如果E0是实数矢量，式（1.5.2）仅表示一个线偏振的平面电磁波，而当E0是复数矢量时，式（1.5.2）不仅表示一个线偏振的平面电磁波，还能表示一个椭圆偏振的单色波.事实上，设复数振幅的形式为：

　　　（1.5.3）

式中，E0R和E0I都是与坐标x，y，z和时间t无关的实数常矢量，它们的方向一般不相同.这时式（1.5.2）可写为

　　　（1.5.4）

实际电场可由式（1.5.4）取实部所得到，即为

　　　（1.5.5）

式（1.5.5）的第一项和第二项表示的是频率相同，而振动方向和相位不同的两个振动，相位差为.因此，其合振动是一个椭圆.

由此可见，对于形如式（1.5.2）的表达式来说，用实数振幅只能表示线偏振的电磁波，而用复数振幅则可以表示线偏振、椭圆偏振，当|E0R|=|E0I|时，表示圆偏振.用复数振幅可以方便地表示电磁波的极化情况.

（2）复波矢量的应用

电磁波在传播的过程中因受空间介质的作用，电磁波的能量传输可能引起损失，也就是介质对电磁波产生吸收作用.式（1.5.2）所表达的平面电磁波，若波矢量k是实数矢量，因E0是与坐标x，y，z和时间t无关的常矢量，因此，波在空间各点的振幅都是相同的.也就是说，波在前进的过程中没有能量损失.实数波矢量k只能表示介质不吸收电磁波的情形.导体对电磁波有吸收作用，电磁波在导体中传播时有能量损失，即电磁波的振幅越来越小.若波矢量k是复数矢量，就可以表示这种情况.

事实上，设复数波矢量的形式为

k=kR+ikI　　　（1.5.6）

式中，kR和kI都是实数矢量，即三个分量都是实数.将式（1.5.6）代入式（1.5.2），得

上式中kI是实矢量，因而也是实数.显然，这是一个振幅衰减因子，电磁波的振幅随它的前进的距离X变化，如图1.5.1所示.对于吸收介质来说，电磁波越往前传播，振幅就越小，这就表示了吸收介质对电磁波的作用效果.导电介质中传播的是一种衰减的电磁波，对电磁波而言，导体就是一种吸收介质.这是因为电磁波在导体中传播时，激发电流产生焦耳热损耗.

1.5.2　复数在军事方面的应用

复变函数论是解决工程技术问题的有力工具，不仅在飞机飞行理论、热运动理论、流体力学理论、电场和弹性理论等中的很多问题有着广泛的应用，在其他领域如军事工程中也有着重要的应用，例如利用复数的指数表示就可以巧妙地描述鱼雷、水面舰船等武器或装备的平面运动规律.

（1）在鱼雷转角运动描述中的应用

对于无误差情形，理论上可以用一定的提前角直进射击，使鱼雷发射后作直线运动，直到预定相遇点与瞄准点相遇，这要求潜艇航向（鱼雷发射管方向）正好与这样一条假想的鱼雷航向一致，因为实际上这一条件一般不太可能满足，所以实际情况一般为转角射击，其原理为，潜艇以一定的航向匀速度直线运动，鱼雷发射后要先作一定的变深、直航、转向等运动，而后再作直航运动，以使预定相遇点与瞄准点于某一时刻相遇.假设鱼雷出管后的变深，直航等运动可视为出管直航运动，鱼雷的转向运动可视为匀速圆周运动，目标、潜艇作匀速直线运动，且潜艇、鱼雷、目标的运动可视为同一水平面上的运动.

下面利用复数的指数表示单独研究鱼雷的转角运动规律，因为鱼雷的转角运动视为匀速圆周运动，若用复数的指数表示来描述该运动，不仅能简单明确地描述问题，又能很大程度省去其他表示烦琐的运算过程.现在的目的是求得鱼雷在旋转运动过程中任意时刻的位置P（t），如图1.5.2所示.

已知鱼雷的速度v，假设鱼雷从t0时刻开始转角，角速度为ω，则转角的位置点为P（t0），转角半径为，从而转角中心点O（t0）=P（t0）+R·，故鱼雷在旋转运动过程中任意时刻的位置

（2）在鱼雷追踪法导引弹道描述中的应用

除直航雷外，其他鱼雷在最后有一个导引追踪目标的阶段，鱼雷在该阶段的运动轨迹完全取决于导引方式，分为声自导、尾流自导和线导，每种导引方式又有相应的导引方法，所谓导引方法是鱼雷在接近目标的过程中，鱼雷速度矢量的变化规律，声自导常用的导引法有追踪法、固定提前角导引法、平行接近法、比例导引法和自动调整提前角导引法.所谓追踪法导引是指鱼雷在攻击目标的导引过程中鱼雷的速度矢量始终指向目标的一种导引方法.在追踪法导引下的弹道一般称为鱼雷尾追式导引弹道，故鱼雷进入尾追弹道后将时刻保持速度方向与当前位置点到目标的连线一致.在研究鱼雷导引弹道时，通常在直角坐标系下，研究鱼雷与目标的运动态势，需要考虑舷角大小，即根据三角函数值的符号进行讨论，计算比较麻烦，但若采用复数来描述尾追导引弹道，就得到了下面的一个简洁明了的运动轨迹公式，从而为研究鱼雷导引弹道问题提供了新的工具.

如图1.5.3建立坐标系，假设目标以速率V沿x轴自O点开始作匀速直线运动，t时刻的位置为A（t）=（Vt，0），鱼雷自O'开始以速率VT作跟踪目标运动（VT>V），时刻t的位置为B（t）=（x（t），y（t））=x（t）+iy（t），鱼雷速度方向指向目标，鱼雷相对目标的舷角为X（t）（图1.5.3为鱼雷位于目标右舷情形），距离为D（t），X（0）=X0，D（0）=D0，则

B（t）=A（t）+D（t）eiX（t）.　　　（1.5.7）

有了上述表示式（1.5.7），就可以利用数学分析的方法和复数的性质对鱼雷弹道进行分析，从而得到相应的轨迹方程.

将方程（1.5.7）两边求导得到B'（t）=A'（t）+D'（t）eiX（t）+iD（t）X'（t）eiX（t）而B'（t）表示鱼雷的速度，根据鱼雷速度方向指向目标，故由速度矢量的平行得到

A'（t）+D'（t）eiX（t）+iD（t）X'（t）eiX（t）=-VTeiX（t）.　　　（1.5.8）

将方程（1.5.8）写成实部与虚部的分量形式得到：

　　　（1.5.9）

化简得到D（t），X（t）所满足的微分方程：

　　　（1.5.10）

这正是声自导鱼雷的追踪导引弹道的数学模型.

以上所举的有关复数应用的例子仅仅是复数表示的个别应用.事实上，凡是揭示平面运动规律的实际问题，都可以用复数的指数表示去描述，该描述简洁明了，精确直观，尤其是有关圆周运动的问题，该描述法更能体现其优越性，这不仅是反映复数指数表示内涵的重要体现，更能体现其应用性的一面，同时也显示出其简化计算的优点；不仅如此，该表示还有另外一个好处，那就是便于实现，具体讲：一方面，可以直接在MATLAB中实现，因为MATLAB的运算域是复数，因此，当实际问题转化成复数形式的数学模型后，就可以直接在MATLAB中进行求解实现，使用非常方便；另一方面，假若用户要在其他高级语言比如C++中实现，可以通过建立一个“类”，实现运算符重载，再进行运算结果的实现，即使这样也比直接用直角坐标表示再进行运算方便得多.