2.3 向量长度：模，欧氏距离，L2范数

向量长度（length of a vector）又叫做向量模（vector norm）、欧几里得距离（Euclidean distance）、欧几里得范数（Euclidean norm）或L2范数（L2-norm）。

给定向量a为

向量a的模为

观察式（2.9），容易知道向量模非负，即。

请大家注意如下有关L2范数的性质，即

其中：k为任意实数。

二维向量的模

特别地，对于如下二维向量a，即

二维向量指的是有两个元素的向量。

二维向量a的L2范数为

图2.3（b）中向量a和b的模可以通过计算得到，即有

二维向量a和横轴夹角可以通过反正切求解，即

上述角度和直角坐标系直接关联，因此可以看做“绝对角度”。本章后续将介绍如何用向量内积求两个向量之间的“相对角度”。

等距线

值得一提的是，如果起点重合，与长度（模）相等的二维向量的终点位于同一个圆上，如图2.10（a）所示。看到这里大家是否想到了鸢尾花书《数学要素》第7章讲过的“等距线”？

如图2.11所示，起点位于原点的二维向量x的模取不同数值c时，我们可以得到一系列同心圆，对应的解析式为

强调一点，x是向量，既有大小、又有方向；而是标量，代表“距离”。这个运算符是一种“向量→标量”的运算规则。

三维向量的模

类似地，给定三维向量a为

三维向量a的L2范数为

如图2.10（b）所示，起点为原点、长度（模）相等的三维列向量终点落在同一正圆球面上。

单位向量

长度为1的向量叫做单位向量（unit vector）。

非0向量a除以自身的模得到a方向上的单位向量（unit vector in the direction of vector a），即

读作“vector a hat”。a/numpy.linalg.norm（a）可以用于计算非0向量a方向上的单位向量。

图2.12（a）所示平面直角坐标系，起点位于原点的单位向量x=[x₁, x₂]T终点位于单位圆（unit circle）上，对应的解析式为

这无数个单位向量x中，有两个单位向量最为特殊——e₁（i）和e₂（j）。如图2.12（b）所示的平面直角坐标系中，e₁和e₂分别为沿着x₁（水平）和x₂（竖直）方向的单位向量，即

显然，e₁与e₂相互垂直。

张成

图2.3（b）给出的向量a和b可以用e₁和e₂合成得到，有

式（2.21）用到的便是向量加减法，这是下一节要介绍的内容。

e₁和e₂张成（span）图2.3（b）整个平面。通俗地讲，e₁和e₂就好比经纬度，可以定位平面任意一点。比如，平面上的任意一点x都可以写成

从集合角度来看，。

三维直角坐标系

三维直角坐标系中，e₁（i）、e₂（j）和e₃（k）代表沿着横轴、纵轴、竖轴的单位向量，即

如图2.13所示，e₁（i）、e₂（j）和e₃（k）两两相互垂直。

同理，图2.13这个三维空间是用e₁、e₂、e₃张成的。通俗地讲，e₁、e₂、e₃相当于经度、维度、海拔，定位能力从地表扩展到整个地球空间。

空间任意一点x可以写成

此外，大家可能已经注意到，e₁可以用不同的形式表达，比如

式（2.25）中几个e₁虽然维度不同，但是本质上等价，它们代表不同维度空间中的e₁。这些e₁之间的关系是，从低维到高维或从高维到低维投影。