1.1.2 函数的基本性质
为了更清楚地看出函数的形式，我们常常会绘制函数的图像.绘出图像后会发现，有些函数是对称的，其中包括轴对称和中心对称.特别地，将函数图像的对称轴选为 
轴，或者将对称中心选为坐标原点，就可以得到奇函数与偶函数的概念.
● 若函数 
的图像关于 轴对称，即
，
则称函数 为偶函数，例如函数 
.在这里可以思考，偶函数 的导数 
是偶函数吗？为什么？
● 若函数 的图像关于坐标原点对称，即
，
则称函数 为奇函数，例如函数 
.在这里可以思考，奇函数 的导数 是奇函数吗? 为什么?
有时候，函数的图像不一定是恰好关于 轴对称，或者恰好关于原点对称的.例如，若函数满足
，
则 
是该函数图像的对称轴；若函数满足
，
则 
是该函数图像的对称中心.
真题1.1 (取自 2021 年新高考 I 卷[2]) 已知函数 
是偶函数，则 
.
[2] 编者注：为了提升阅读体验并简化表达，本书中的高考试题名称采用了简称形式，例如将“2023 年高考全国乙卷理科数学”简称为“2023 年乙卷理数”，将“2020 年高考 II 卷文科数学”简称为“2020 年 II 卷文数”，以此类推.这样既保持了信息的真实性，又提高了文本的可读性.
解答 根据偶函数的定义，令
，
对比系数，解得 
.
真题1.2(取自 2021 年新高考 II 卷) 写出一个同时具有下列性质 （1）（2）（3）的函数 : 
.
（1）
；
（2）当 
时，
；
（3）是奇函数.
解答 考虑函数 ，可以验证它满足 
.
真题1.3(取自2023年乙卷理数) 已知函数 
.是否存在 
，使得曲线 
关于直线 
对称，若存在，求 的值，若不存在，说明理由.
解答 令 
，由 
，解得
.考虑到函数的定义域关于直线 
对称，取 
.接下来，令
，即
.
经检验 
满足题意. ■
另外，有些函数有可能会有些函数值“重复出现”，或者用更数学一点的语言来说，会出现“周期性”.
● 若存在 
，使得函数 满足
则称函数 为周期函数，并称 
为函数 的周期.例如函数 
或其他的三角函数.事实上，我们知道 是周期函数，而一个非周期函数的例子是 
.
高考中，对于一些定义复杂的函数，有时候需要通过对称性和周期性巧妙地解题.
真题1.4（取自 2021 年新高考 II 卷） 已知函数 的定义域为 
为偶函数， 
为奇函数，则 
.
A．
B．
C．
D．
满足 
为偶函数，
为奇函数的函数 的简图
解答 根据 为偶函数，知 关于直线 
对称；再根据 为奇函数，知 
为奇函数，从而 
，并且 关于点 
对称.据此，可以画出 的大致图像，如上图所示.
根据图像，可以看出其是周期 
的函数，并且 ，因此 B 选项正确. ■