1.1.3　函数的零点问题

对于函数 ，称使得 成立的 为 的零点.一般来说，高中所研究的函数都是初等函数，它们都是连续的，或者在某些区间上是连续的.对于闭区间上的连续函数，有零点定理.

定理1.1(连续函数的零点定理)　设 在 上连续，且 ，则存在 ，使得 .

从图像上看，这个定理的结果是显然的.然而在高中阶段，暂时未给出该定理的证明.但是在高考中，该定理非常常用，特别是在有关导数的大题中[3].

[3]　常有人觉得高中数学的内容安排不合理，这便是一个例子.

● 如果 是严格单调递增的连续函数，且 ，则存在唯一的 ，使得 .反过来，如果 是严格单调递减的连续函数，且 ，则存在唯一的 ，使得 .在判断零点的个数时，需要用到这个结论.这说明了研究函数单调性的重要性，而研究函数单调性的一个重要工具就是导数.

● 如果 是连续函数，且 ，当 时，或 ，则存在 ，使得 .然而，在高考中，我们无法使用所谓的“极限”概念，通常可以找到一个 ，使得 ，再应用我们已知的零点定理，存在 ，使得 ，便得到了零点的存在性.

在第二种情形中，如果读者学习过极限，就会知道这样的 是一定存在的，难点在于如何取出合适的 ，这在高考压轴题的研究中被称为“取点”.为了取出这样的点，往往需要使用函数不等式，如最常用的 ，当然有时候只要用 就够了，这被称为“放缩”.这将在后面简单介绍.

另外，有时候处理的零点问题并不会直接给出函数 的形式，而会给出一个带有函数的方程，比如 ，这时候可以构造函数 ，则 等价于 .高考压轴题中，出现的函数形式会比较复杂，甚至常常带有参数，但是本质上仍然是零点问题.