第三节　实例：均值、中位数、偏态分布的众数

当数据的分布呈现正态分布时，众数、中位数和平均数都位于同一点：分布的中心。但是，在社会科学领域，来自某一样本的变量取值分布有时候不是正态分布，当分布中的较多取值倾向于在分布的一端聚集，而在另一端仅有少量值时，则认为该分布为偏态分布。在偏态分布中，均值、中位数和众数通常都在不同的位置。值得注意的是，不管是偏态分布还是正态分布，众数、中位数和平均数的计算方法都是一样的。区别在于众数、中位数和平均数位置关系的不同。为了解释这一点，我们编制了一个样本为30的取值分布。假设我们要抽取30个随机选择的五年级学生作为样本，询问他们是否认为“在学校表现出色很重要”？我们进一步将重要程度划分为5个等级，其中1=“一点都不重要”，5=“非常重要”。因为大多数五年级学生都倾向于认为在学校表现出色非常重要，所以他们的大部分成绩都处于较高的水平，较少的学生成绩处于较低的水平。现在获得以下数据分布：

如上，只有极少数值处于分布的低端（1，2），更多取值在分布的高端（4，5）。

均值的计算方法很简单，我们把所有的取值进行加总求和，然后除以变量值的个数就可以了。

中位数的计算方法如下：首先我们将数据从小到大排序，然后找到中间值。

正如我之前提到的那样，均值容易受极值的影响，但中位数不受极值影响，在偏态分布中，如果数据分布是左偏分布，说明数据存在最小值，必然拉动平均数向极小值靠近。中位数、均值、众数的相互关系表现为：均值<中位数<众数。如果数据分布是右偏分布，说明数据存在最大值，必然拉动平均数向极大值靠近。中位数、均值、众数的相互关系表现为：众数<中位数<均值。

对于较小的样本，离群值对均值的影响更为显著，因为在较小的样本中，一个离群值不会产生非常明显的影响。但是对于小样本来说，大样本中一个离群值不会产生非常显著的效果。但是，如果样本量很小，则离群值就会导致均值发生较大变化。