4.1　集中量数

在统计分析中，通过对数据进行排序、频数统计等操作，可以发现，多数情况下，一组数据会呈现出一种钟形分布，即每个数值与中间位置距离越近；出现的次数越多，与中间位置距离越远，出现的次数越少。这种以中间值为中心的集中趋势，是数据规律性的表现。集中量数就是统计学中描述一组数据集中趋势的统计指标，包括算术平均数、加权平均数、修剪平均数、几何平均数、调和平均数、中数、众数等。

4.1.1　算术平均数

算术平均数（Arithmetic Average）可以简称平均数、均数、平均值、均值等，只有在为了与其他几种集中量数相区别时，才全称它为算术平均数。算术平均数是统计学中最基本、最常用的一种平均指标。

算术平均数是一个良好的集中量数，具有反应灵敏、确定严密、简明易解、计算简单、适合进一步演算和受抽样变化的影响较小等优点。但算术平均数易受极端数据的影响，这是因为平均数反应灵敏，每个数据或大或小的变化都会影响最终结果。

根据表现形式的不同，算术平均数分为简单算术平均数、加权算术平均数，其有不同的计算公式。简单算术平均数可以简称为算术平均数，而加权算术平均数不能简称。算术平均数主要适用于数值型数据，不适用于品质数据。

简单算术平均数是加权平均数的一种特殊形式。当各项的权重相等，即数据为原始数据，未被分组时，就要计算简单算术平均数；当各项的权重不相等，即数据已被分组，且进行了频数统计时，就要计算加权算术平均数。由于归组效应，加权平均数可能与真正的平均数有所出入。因此，当有原始数据时，尽量计算简单算术平均数。

设一组数据为X₁，X₂，…，X_n，样本量为n，则简单算术平均数的计算公式为

如果原始数据被分为𝑘组，各组的组中值分别用X₁，X₂，…，X_k表示，各组变量值出现的频数分别用f₁，f₂，…，f_k表示，则加权算术平均数的计算公式为

例4-1　在文件“第4章统计量.xlsx”中的“集中量数”工作表中，“政治成绩表”记录了某级5个班250人的政治成绩，“政治成绩频数分布表”则对该科成绩进行了统计，如图4-3所示（隐藏了部分行）。如何分别按原始成绩和频数分布表计算简单算术平均数、加权算术平均数？

解题思路：在Excel中，可以直接使用AVERAGE函数计算简单算术平均数或根据定义的公式计算简单算术平均数。根据定义的公式使用SUM、SUMPRODUCT等函数计算加权平均数。

解题过程：建立统计表，输入公式。

（1）建立统计表。建立一个可以对未分组数据和分组数据计算算术平均数的统计表“两类数据的集中量数”（包含后面将要介绍到的中位数、众数），输入有关数据，如图4-4所示。

图4-3　政治成绩及频数分布表

图4-4　两类数据的集中量数表

（2）输入公式。

在L3单元格输入公式“=AVERAGE(C3:C252)”或“=SUM(C3:C252)/COUNT(C3:C252)”。

在M3单元格输入公式“=SUMPRODUCT(F3:F10,H3:H10)/ I10”或“{=SUM(F3:F10*H3:H10)/I10}”。

计算结果如图4-5所示。

图4-5　算术平均数的计算结果

    AVERAGE(number1,[number2],…)

    SUMPRODUCT(array1,[array2],[array3],…)

    H≤G≤A≤S（调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数）

4.1.2　修剪平均数

在一些比赛、评价中可能出现极端数据，而算术平均数容易受极端数据的影响，此时计算算术平均数可能会导致结果不公平，需要将这一组数据去除一定百分比（如5%）的最大值和最小值数据后，再计算算术平均数。也就是先对一组数据排序，然后按一定个数或比例掐头去尾，最后计算剩余数据的算术平均数，此时的平均数就是修剪平均数，也称截尾平均数。

例4-2　在文件“第4章统计量.xlsx”中的“修剪平均数”工作表中，“测评分数表”记录了20个评委对3名参赛者的评价分数，如图4-6所示。如何按10%的比例去除高分和低分后计算算术平均数？

图4-6　测评分数表

解题思路：按照题意，本题是要计算修剪平均数。在Excel中，可以直接使用TRIMMEAN函数计算修剪平均数或根据定义的公式计算修剪平均数。

解题过程：在V3单元格输入公式“=TRIMMEAN(B3:U3,0.1)”或“=(SUM(B3:U3)-LARGE(B3:U3,1)-SMALL(B3:U3,1))/(COUNT(B3:U3)-2)”。

将V3单元格的公式向下填充到V5单元格，结果如图4-7所示。

图4-7　修剪平均数结果

    TRIMMEAN(array,percent)

    LARGE(array,k)

4.1.3　几何平均数

几何平均数（Geometric Mean）是指𝑛个观察值连乘积的𝑛次方根。当一组数据中存在极端数值，或者分布呈偏态时，算术平均数不能很好地反映数据的典型情况，此时宜用几何平均数或其他集中量数（如中位数、众数）来反映数据的典型情况。当一组数据中任何两个相邻数据之比接近于常数，即数据按一定的比例关系变化，此时应计算几何平均数，以便正确反映平均利率、平均发展速度、平均提高率、平均合格率等。

几何平均数的特点是：受极端值的影响较算术平均数小；如果变量值有负值，计算出的几何平均数就会成为负数或虚数；仅适用于具有等比或近似等比关系的数据；几何平均数的对数是各变量值对数的算术平均数。

根据资料的条件不同，几何平均数有加权和不加权之分，分为简单几何平均数和加权几何平均数。简单几何平均数可以简称为几何平均数。当各项的权重相等时，要计算简单几何平均数；当各项的权重不相等时，要计算加权几何平均数。

设一组数据为X₁，X₂，…，X_n，样本量为n，则简单几何平均数的计算公式为

如果一组数据为X₁，X₂，…，X_n，样本量为𝑛，各变量值出现的频数分别用f₁，f₂，…，f_n来表示，则加权几何平均数的计算公式为

下面用4个例子介绍在Excel中如何计算几何平均数。

例4-3　在文件“第4章统计量.xlsx”中的“几何平均数”工作表中，“心理感觉的物理测量表”记录了10名被试心理感觉的物理刺激量数据，如图4-8所示，如何计算平均数？

解题思路：本题10名被试的物理刺激量数据差距较大，应计算几何平均数。在Excel中，可以直接使用GEOMEAN函数或使用定义的公式计算几何平均数。

解题过程：在B13单元格输入公式“=GEOMEAN(B3:B12)”或“=PRODUCT(B3:B12)^(1/COUNT(B3:B12))”。

结果如图4-9所示。

图4-8　心理感觉的物理测量表

图4-9　物理刺激量的几何平均数

    GEOMEAN(number1,[number2],…)

    PRODUCT(number1,[number2],…)

例4-4　某生第1～5周记忆的单词数分别为20、23、26、30、34个，试计算其学习进步率。

解题思路：学习进步率是一种比率，所以要得到相邻两次所记单词数的比率，再计算几何平均数。可以使用GEOMEAN函数、简化的公式或POWER函数计算几何平均数。

解题过程：建立数据表，输入公式。

（1）建立数据表。在文件“第4章统计量.xlsx”中的“几何平均数”工作表中，建立“学习进步率表”，输入有关数据，如图4-10所示。

（2）输入公式。

在C19单元格输入公式“=B19/B18”。

将C19单元格的公式向下填充到C22单元格。

在C23单元格输入公式“=GEOMEAN(C18:C22)”。

在C24单元格输入公式“=(B22/B18)^(1/(A22-A18))”。

C25单元格输入公式“=POWER(B22/B18,1/(A22-A18))”。

计算结果如图4-11所示。

图4-10　学习进步率表

图4-11　学习进步率的计算结果

【函数公式解析】

简化公式的原理为，先设X₁为基数，分别用后一次的结果除以前一次的结果求出数据变化的比率，然后用比率数作为X_i，代入计算几何平均数的公式，开n-1次方，所求结果就是平均增长的比率数。公式为

POWER函数返回数字乘幂的结果。具体语法为：

    POWER(number,power)

number：必需，基数，可为任意实数。

power：必需，基数乘幂运算的指数。可以使用“^”代替POWER，以表示基数乘幂运算的幂，例如5^2。幂为分数或小数，就是开方。例如5^（1/2），表示对“5”开“2”次方。

例4-5　某校1950年教育经费为10万元，1985年教育经费为120万元。请问：教育经费的年增长率是多少？如果一直按此比率增加，到2017年该校的教育经费是多少？

解题思路：此例只有前后两次的数据，可以利用几何平均数的简式进行计算。

解题过程：建立数据表，输入公式。

（1）建立数据表。在文件“第4章统计量.xlsx”中的“几何平均数”工作表中，建立一个“教育经费增长情况表”，输入有关数据，如图4-12所示。

（2）输入公式。

在B32单元格输入公式“=B31*((B33+1)^(A32-A31))”或“=B31*POWER(B33+1,A32-A31)”。

在B33单元格输入公式“=(B31/B30)^(1/(A31-A30))-1”或“=POWER(B31/B30,1/(A31-A30))-1”，计算结果如图4-13所示。

例4-6　假定某地储蓄年利率（按复利计算）为：5%持续1.5年，3%持续2.5年，2.2%持续1年。请问：此5年内该地平均储蓄年利率是多少？

解题思路：此例每个利率持续的年数不同，因而平均储蓄年利率为加权几何平均数。

解题过程：建立数据表，输入公式。

（1）建立数据表。在文件“第4章统计量.xlsx”中的“几何平均数”工作表中，建立一个“某地储蓄年利率表”，输入有关数据，如图4-14所示。

图4-12　教育经费增长情况表

图4-13　教育经费增长的计算结果

（2）输入公式。

在G6单元格中输入公式“=SUM(G3:G5)”。

在F6单元格中输入公式“{=POWER(PRODUCT(F3:F5^G3:G5),1/G6)}”。

计算结果如图4-15所示。

图4-14　某地储蓄年利率表

图4-15　教育经费增长的计算结果

4.1.4　调和平均数

调和平均数（Harmonic Average）又称倒数平均数，是变量倒数的算术平均数的倒数。这是一类较难理解的平均数，常常涉及如何确定“单位1”的问题。调和平均数问题实质是速度相遇问题、速度路程问题、分数工程问题。

先看一个速度相遇问题。一艘轮船从A码头顺流而下到C码头，然后原路返回。顺流去时，速度为30km/h；逆流返回时，速度为20km/h。求往返平均速度。本例容易错成（30＋20）÷2＝25（km/h），错在把往返用时等同了，而往返用时是不同的。正确结果应该是30和20的调和平均数：2/（1/20＋1/30）＝2×20×30/（20＋30）＝24（km/h）。算理是这样的：去时每千米耗时 h，返回时每千米耗时 h，因此在每千米的路上，往返一次共行驶2km，耗时（1/20＋1/30）h，也就是每小时行驶2/（1/20＋1/30）km。也可以根据2×20×30/（20＋30）这样解释：假设A与C之间的航程是20×30km，往返一次的总路程和总时间分别为2×20×30km和（20＋30）h。如果将这个问题稍稍复杂化一点，问题变成：在这条航道上是否存在一点B，顺流而下到B和逆流而上到B用的时间相同？答案是肯定的，也是显然的。可以假设，顺流而下的船出发，同时有一艘同样的船逆流而上，两船相遇的地点就是所求的B点。这个点很容易确定，AB∶BC＝3∶2。

再看一个巧用轮胎的问题。自行车的前轮胎和后轮胎是相同的，可以交换。但是同样的轮胎在前轮和后轮上使用的时间是不同的。上在前轮上可以行驶500km，上在后轮上只能行驶300km。因此，适当的时候交换前轮胎和后轮胎可以让前轮胎和后轮胎同时报废。问题是，行驶多少km交换合适？这样一对轮胎最多能同时行驶多少千米？可以这样理解，前轮每千米磨损1/500，后轮每千米磨损1/300。当磨损掉前、后轮总数的一半，即磨损掉1条轮胎时，就应该交换前后轮。此时行驶了1÷（1/300＋1/500）＝187.5（千米）。交换后还可以行驶187.5km，一共行驶了375km。

调和平均数有加权和不加权之分，分为简单调和平均数和加权调和平均数。简单调和平均数可以简称为调和平均数。当各项的权重相等时，要计算简单调和平均数；当各项的权重不相等时，要计算加权调和平均数。

简单调和平均数是算术平均数的变形。设一组数据为X₁，X₂，…，X_n，样本量为n，则简单调和平均数的计算公式为

当只有两个变量时，简单调和平均数的计算公式为

加权调和平均数是加权算术平均数的变形。如果一组数据为X₁，X₂，…，X_n，各变量值出现的频数分别用f₁，f₂，…，f_n来表示，则加权调和平均数的计算公式为

下面用5个例子介绍在Excel中如何计算调和平均数。

例4-7　4名学生在1h内分别解题3、4、6、8道。问：平均解题速度是多少？

解题思路：本题应该计算调和平均数。本题已知单位时间的工作量，在Excel中，可以直接使用HARMEAN函数计算调和平均数或使用定义的公式计算调和平均数。

解题过程：建立数据表，输入公式。

（1）建立数据表。在文件“第4章统计量.xlsx”中的“调和平均数”工作表中，建立一个“学生解题情况表”，输入有关数据，如图4-16所示。

（2）输入公式。在F3单元格输入公式“=HARMEAN(B3:E3)”或“{=COUNT(B3:E3)/(SUM(1/B3:E3))}”。

结果如图4-17所示。

图4-16　4名学生的解题速度

图4-17　4名学生的平均解题速度

    HARMEAN(number1,[number2],…)

例4-8　3名学生在2h内分别解题24、20、16道。问：平均解题速度是多少？

解题思路：本题仍然应该计算调和平均数。本题每人的时间相同而工作量不同，单位时间的工作量未知，要事先计算出单位时间的工作量，再使用HARMEAN函数计算调和平均数。

解题过程：建立数据表，输入公式。

（1）建立数据表。在文件“第4章统计量.xlsx”中的“调和平均数”工作表中，建立一个“工作量不同而时间相同时求调和平均数”表，输入有关数据，如图4-18所示。

（2）输入公式。在B11单元格输入公式“=B9/B10”。

将B11单元格的公式向右填充到D9单元格。

在F11单元格输入公式“=HARMEAN(B11:D11)”。

结果如图4-19所示。

图4-18　3名学生用时数相等时的试题量

图4-19　3名学生的平均解题速度

例4-9　3名学生解答10道题的用时分别为0.8、1、1.2h。问：平均解题速度是多少？

解题思路：本题仍然应该计算调和平均数。本题每人的工作量相同而时间不同，单位时间的工作量未知，要事先计算出单位时间的工作量，再使用HARMEAN函数计算调和平均数。还可以使用速度公式 求解。

解题过程：建立数据表，输入公式。

（1）建立数据表。在文件“第4章统计量.xlsx”中的“调和平均数”工作表中，建立一个数据表，输入有关数据，如图4-20所示。

（2）输入公式。

在E15单元格输入公式“=SUM(B15:D15)”。

将E15单元格的公式向下填充到E16单元格。

在B17单元格输入公式“=B15/B16”。

将B17单元格的公式向右填充到E17单元格。

在F17单元格输入公式“=HARMEAN(B17:D17)”。

结果如图4-21所示。

图4-20　3名学生试题量相等时的用时数

图4-21　3名学生的平均解题速度

例4-10　土豆每元1斤，地瓜每元1.5斤，白菜每元2斤，若各买1斤，平均每元可买多少斤？

解题思路：本题已知每元可买蔬菜的斤数，可直接使用HARMEAN函数计算“平均每元的斤数”这个简单调和平均数。同时，可以利用所给全部数据计算加权调和平均数。

解题过程：建立数据表，输入公式。

（1）建立数据表。在文件“第4章统计量.xlsx”中的“两类调和平均数”工作表中，建立一个“两类调和平均数”表，输入有关数据，如图4-22所示。

（2）输入公式。在L4单元格输入公式“=HARMEAN(I4:K4)”。

在L5单元格输入数组公式“{=SUM(I5:K5)/SUM(I3:K3/I4:K4*I5:K5)}”。

结果如图4-23所示。

图4-22　斤数相等的3种蔬菜的购买情况

图4-23　斤数相等的3种蔬菜平均每元的斤数

注意

本题L4单元格的得数与L5单元格的得数相等，但L4单元格计算的是简单调和平均数，而L5单元格计算的是加权调和平均数。如果计算I4:K4区域的算术平均数，则是错误的算法。如果每种蔬菜所购斤数不是1斤，而是另外一个相等的斤数，例如4斤，情况会怎么样呢？复制H2:M5区域到H8单元格，将3种蔬菜的斤数全部改为4，结果如图4-24所示。

可以看出，简单调和平均数与加权调和平均数的得数仍然相等。

如果每种蔬菜所购斤数不是1斤，而是不等的斤数，例如4、3、2斤，情况又会怎么样呢？复制H2:M5区域到H14单元格，将3种蔬菜的斤数全部分别改为4、3、2，结果如图4-25所示。

图4-24　斤数相等的3种蔬菜平均每元的斤数

图4-25　斤数相等的3种蔬菜平均每元的斤数

可以看出，实购斤数不相等时，简单调和平均数与加权调和平均数的得数不相等。简单调和平均数没有考虑到斤数的权重，所以从算理上讲是错误的。

例4-11　一种商品3个批次的单价分别为35元、40元、42元，金额分别为10500元、20000元、14700元。问：这种商品的平均单价是多少元？

解题思路：本题先根据金额和单价计算出每批次的数量，因为每批次的数量不等，所以还要计算加权调和平均数。当然，也可以根据原始数据利用数组公式直接计算加权调和平均数。

解题过程：建立数据表，输入公式。

（1）建立数据表。在文件“第4章统计量.xlsx”中的“调和平均数”工作表中，建立一个“数量未知时计算平均单价（加权调和平均数）”表，输入有关数据，如图4-26所示。

（2）输入公式。

在P5单元格输入公式“=P4/P3”。

将P5单元格的公式向右填充到R5单元。

在S3单元格输入公式“=SUM(P3:R3)”。

将S3单元格的公式向下填充到S5单元。

在T3单元格输入公式“=S4/S5”。

在U3单元格输入数组公式“SUM(P4:R4)/SUM(P4:R4/P3:R3)}”。

结果如图4-27所示。

图4-26　一种商品3个批次的单价和金额

图4-27　数量未知时计算平均单价

注意

如果已知这种商品3个批次的单价和数量，此时要计算的平均单价就是加权调和平均数。复制O2:U5区域到O8单元格，复制P11:R11区域以“值”的形式粘贴在本区域。清除P10:R10的数据，在P10单元格输入公式“=P9*P11”。将P10单元格的公式向右填充到R10单元格。将U9单元格的公式修改为“{=SUM(P11:R11*P9:R9)/SUM(P11:R11)}”。结果如图4-28所示。

图4-28　金额未知时计算平均单价

4.1.5　中数

中数（Median）又称中点数、中位数、中值。中数是按大小顺序排列在一起的一组数据中居于中间位置的数，即在这组数据中，有一半的数据比它大，有一半的数据比它小。如果数据的个数是奇数，则中间那个数据就是这群数据的中数，中数在数列中的位置为(n+1)/2；如果数据的个数是偶数，则中间那2个数据的算术平均值就是这群数据的中数，中数在数列的位置为n/2、n/2+1。中数不受分布数列的极大或极小值影响，从而在一定程度上提高了中数对分布数列的代表性。有些离散型变量的单项式数列，当次数分布呈偏态时，中数的代表性会受到影响。

如果数据已经分组，没有原始数据，就只能根据累积频数分布表，运用插值法，按比例计算中数，公式为

式中，L为中数所在组的下限；n为总频数；F_m-1为中数所在组以下的累积频数；f_m为中数所在组的频数；d为组距。

例4-12　在例4-1的基础上，分别按原始成绩和频数分布表计算中数。

解题思路：在Excel中，对原始数据（未分组数据）可以使用MEDIAN函数计算中数，对分组数据则使用推演公式计算中数。

解题过程：例4-1中已建立“两类数据的集中量数”表，这里直接输入公式。

在L4单元格输入公式“=MEDIAN(C3:C252)”。

在M4单元格输入公式“=81+(I10/2-I6)/H7*5”。

结果如图4-29所示。

图4-29　计算中数的结果

    MEDIAN(number1,[number2],…)

4.1.6　众数

众数（Mode）是在一组数据中，出现次数最多的那个原始数据，不是指相应的次数，用M_o来表示。众数不受极端数据的影响，并且求法简便，但用众数代表一组数据，可靠性较差。

如果数据已经分组，没有原始数据，就只能根据累积频数分布表，运用插值法，按比例推演众数，公式为

式中，L为众数所在组的下限；f_m为众数所在组的频数；f_m-1为众数所在组前一组的频数；F_m+1为众数所在组后一组的频数。

例4-13　在例4-1的基础上，分别按原始成绩和频数分布表计算众数。

解题思路：在Excel中，对原始数据（未分组数据）可以使用MODE.SNGL函数计算众数，对分组数据则使用推演公式计算众数。

解题过程：例4-1中已建立数据表，这里直接输入公式。

在L5单元格输入公式“=MODE.SNGL(C3:C252)”。

在M5单元格输入公式“=81+(H7-H6)/(H7*2-H6-H8)*5”。

结果如图4-30所示。

图4-30　计算众数的结果

    MODE.SNGL(number1,[number2],…)

注意

如果要提高运用公式计算众数的自动化程度，可以将f_m、f_m-1、f_m+1等定义为名称f_众、f_小、f_大等类似的名称。名称所用公式分别为：

在M6单元格输入公式“=81+(f众-f小)/(f众*2-f小-f大)*5”。

结果如图4-31所示。

图4-31　用名称计算众数的结果

4.1.7　分类的集中量数

前面在介绍平均数、中数和众数3个集中量数时，所举例子均没有分类计算集中量数。实际上，这批原始数据可能是有类别的。下面介绍分类计算集中量数的技巧。

例4-14　利用例4-1的原始数据，如何按班计算平均数、中数和众数？

解题思路1：在Excel中，使用IF函数的条件判断功能结合其他函数，可以分类计算平均数、中数和众数。

解题过程：建立统计表，输入公式。

（1）建立统计表。在文件“第4章统计量.xlsx”中的“集中量数”工作表中，建立一个“未分组数据分类的集中量数”统计表，如图4-32所示。

（2）输入公式。

在P3单元格公式输入数组公式“{=AVERAGE(IF($B$3:$B$252=O3,$C$3:$C$252))}”。

在Q3单元格输入公式“=AVERAGEIF($B$3:$B$252,O3,$C$3:$C$252)”。

在R3单元格公式输入数组公式“{=MEDIAN(IF($B$3:$B$252=O3,$C$3:$C$252))}”。

在S3单元格公式输入数组公式“{=MODE(IF($B$3:$B$252=O3,$C$3:$C$252))}”。

将P3:S3区域的公式向下填充到S7单元格。

结果如图4-33所示。

图4-32　分类的集中量数统计表

图4-33　计算集中量数的结果

解题思路2：在Excel中，可以利用数据透视表分类统计的功能来分类计算平均数。

解题过程：插入数据透视表，更改值汇总依据。

（1）插入数据透视表。操作过程为：

➊　单击“插入”选项卡。

➋　单击“表格”组中的“数据透视表”按钮。

➌　在弹出的“创建数据透视表”对话框中，将鼠标放置于“选择一个表或区域”单选按钮右侧的“表／区域”框，使用鼠标拖动选择A2:C252区域。

➍　在“选择放置数据透视表的位置”组中单击“现有工作表”单选按钮。

➎　将鼠标放置于“位置”框中，使用鼠标单击P12单元格。

➏　单击“确定”按钮，随即生成空白数据透视表并弹出“数据透视表字段”任务窗格。

➐　在“数据透视表字段”任务窗格，将字段节区域中的“班级”字段拖放到“行”区域节，将“政治”字段拖放到“值”区域节。

操作过程及结果如图4-34所示。

图4-34　插入数据透视表

（2）更改值汇总依据。操作过程为：

➊　右击数据透视表“值”区域中的任意单元格，例如Q13单元格。

➋　在快捷菜单中选择“值汇总依据”级联菜单的“平均值”命令。

操作过程及结果如图4-35所示。

图4-35　更改值汇总依据