1.3.4　矩阵的秩

对于矩阵，它的每行（每列）都可以看作一个n维行向量（m维列向量），因而一般称m个n维行向量

为矩阵的行向量组；同理称n个m维的列向量为矩阵的列向量组。

称矩阵的行向量组（列向量组）的秩为矩阵的行秩（列秩）。

例1-26　求矩阵的行秩与列秩。

解：矩阵的列向量组为，，，，，，，显然是线性无关的，且，，，因此是列向量组的极大线性无关组，的列秩为3。的行向量组为，，，。如果

则，因此，是线性无关的且为的行向量组的极大线性无关组，的行秩为3。

定理1-13　对矩阵做有限次初等行变换将其变为矩阵，则

（1）的行秩等于的行秩；

（2）的任意列子向量组和与它相对应的的列子向量组都有相同的线性关系，即若

则对任意，向量组与向量组都有相同的线性关系，进而有的列秩等于的列秩。

由定理1-13可得求向量组的秩、极大线性无关组及把其余向量表示为极大线性无关组线性组合的简单方法：以向量组的向量为列组成矩阵，通过初等行变换将其化为行阶梯形矩阵，然后化为行最简形矩阵。秩等于行阶梯形矩阵的非零行的行数。行阶梯形矩阵（或行最简形矩阵）中每行首个非零元所在列对应的原矩阵的相应列向量，就构成它的一个极大线性无关组。用行最简形矩阵可将其余向量表示为所求极大线性无关组的线性组合。对于行向量组，可以先将其转置变为列向量组，或者对称地仅用初等列变换化为列最简形矩阵求解。

例1-27　求向量组，，，，的秩和它的一个极大线性无关组，并把其余向量表示为所求极大线性无关组的线性组合。

解：

因此得列向量组：，，，，，显然是此向量组的极大线性无关组，且，。

因此，根据定理易知：向量组的极大线性无关组为，故该向量组的秩为3，且，。

例1-26中矩阵的行秩等于它的列秩并非偶然。由定理1-13，初等行变换既不改变矩阵的行秩，也不改变矩阵的列秩，同理初等列变换不改变矩阵的行秩与列秩。对任意矩阵，通过有限次初等变换后，总可以化为标准形，而标准形矩阵的行秩显然等于它的列秩，因此可得如下重要结论。

定理1-14　矩阵的行秩等于它的列秩。

定义1-29　矩阵的行秩（或的列秩）称为矩阵的秩，记作。

n阶方阵的秩为n时，一般称方阵满秩。

定理1-15　n阶方阵满秩的充分必要条件是它的行列式。

定义1-30　位于矩阵的任意行，其中与任意列交叉点上的个元素按照原来的次序所构成的一个阶行列式称为矩阵的阶子行列式，简称矩阵的阶子式。特别地，当时，该行列式又称为矩阵的阶主子式。

矩阵的秩也可用它的非零子式刻画如下。

定理1-16　矩阵的秩等于矩阵的所有非零子式的最高阶数。

关于矩阵的秩，还有如下几个常用性质。

性质1-9　对任意矩阵，有

（1）两个矩阵和的秩不超过两个矩阵秩的和，即。

（2）两个矩阵积的秩不超过左乘矩阵的秩，也不超过右乘矩阵的秩，即。

（3）矩阵左乘或右乘可逆方阵，其秩不变。即若分别是阶、阶可逆方阵，则。

推论1-8　（1）n个矩阵和的秩不超过这n个矩阵秩的和，即

（2）n个矩阵积的秩不超过各因子矩阵的秩，即

对于矩阵，若，则在矩阵等价意义下，其最简单的形式是什么？

定理1-17　对于矩阵，若，则一定存在m阶可逆方阵和n阶可逆方阵，使得，其中是阶单位矩阵，,,全是零矩阵。

一般称矩阵（其中是阶单位矩阵，,,全是零矩阵）为矩阵的等价标准形。规定是零矩阵。由定理知，所有m行n列矩阵总等价于如下个等价标准形矩阵：，其中。因此，由矩阵等价的传递性可得如下结论。

推论1-9　对同型矩阵，的充分必要条件是和等价。