1.3.5　向量空间

定义1-31　设是定义在实数集上的n维向量的一个非空集合，如果中向量对加法和数乘运算封闭，即：①对任意，总有；②对任意，总有，则称是一个向量空间。

注意向量空间中的向量满足性质1-8的8条基本运算规律。显然任何向量空间都包含零向量，只含零向量的向量空间称为零向量空间。易知n维实向量全体是一个向量空间。

例1-28　在解析几何中，以平面直角坐标系或空间直角坐标系的坐标原点为起点引出的所有向量（或矢量）的集合，恰好构成了向量空间或，这是因为它们对向量的加法与实数乘向量的运算都封闭。

例1-29　在空间直角坐标系中：①所有平行于坐标平面的向量构成的集合是一个向量空间，因为从几何意义上看，显然它对向量的加法与实数乘向量的运算都封闭；②所有起点在坐标原点、终点在平面上的向量（或矢量）构成的集合不是向量空间，因为。

由n维向量的任意线性组合构成的向量集

是一个向量空间，称其为由生成的向量空间，记作。

验证如下：对任意和有

对中任意两向量与有

设是向量空间且，若是向量空间，则称是的子向量空间，简称子空间。如例1-29中的是的子空间。

定义1-32　如果向量组是向量空间中的极大线性无关组，即①是线性无关的；②向量空间中任意一个向量都可由线性表出，则称是向量空间的一个基，称此向量组中向量的个数r为向量空间的维数，记作。此外，若，则称有序数组为向量在基下的坐标，记作或。

向量空间的维数就是向量空间作为向量组的秩。零向量空间没有基，规定其维数为0。由向量组的极大线性无关组及其秩的性质易知：非零向量空间的基不唯一，但向量空间的维数被向量空间自身唯一确定。向量空间中任一向量在某确定基下的坐标表示是唯一确定的。

由n维实向量组生成的是的子空间，它的维数就是向量组的秩。直接验证可得如下定理。

定理1-18　（1）如果向量组可由向量组线性表出，则；

（2）向量组与向量组等价的充分必要条件是。

例1-30　求向量分别在基,,,和n维基本向量构成的基下的坐标。

解：设，解得。

又显然有，因此向量在基下的坐标是；在基下的坐标是。