2.3.4　奇异点

反馈式（2.8）中所包含的矩阵A（x）可能不是可逆的，当x的值满足det（A（x））=0时，将其称为奇异点。尽管在状态空间中，奇异点通常形成一个0变量集合，但学习奇异点是最根本的，因为奇异点有时是不可避免的。称系统（2.6）的合理输出的集合为：

因此，集合S_y由一个m维的可微流形（或表面）在R^m上的投影组成（因为对于2m+n个变量有m+n个方程），那么，除了简并情况，S_y就是内外都非空的R^m的子集。

为了正确理解，考虑一个图2.3所示的一个在轨二轮车的例子。可用一个水平吹风机驱动该二轮车，其推力的方向是可控的。但是，注意吹风机的旋转速度是一定的。

图2.3　由一个吹风机推动的二轮车机器人

该系统模型的状态方程如下式所示：

式中，x₁为吹风机的推力角，x₂为二轮车的速度。注意，在此考虑了一种黏性摩擦力。则合理输出的集合为：

这就意味着无法将该二轮车稳定在一个绝对值大于1的速度下。在此应用反馈线性化的方法，可得：

因此，线性化控制器为：

该反馈系统的方程如下所示：

可能会出现这种情况，即由于可以任意选择v，则y的任何值都可以实现。如果在sin x₁=0时，不存在奇异点，那么这便是正确的。例如，令v（t）=1且，则应有：

这实际上是不可能的。当应用该控制器时会得到如下结果：输入u代表吹风机相对于正确方向的角度，则最起码在一开始就满足。接着x₁就被抵消了，并且达到奇异点，于是不会满足方程。对于某些系统而言，这样的奇异点是可以被越过的，但不是此处所述情形。