2.3.3　微分延迟矩阵

我们把为了使u_j出现而对y_i求导的次数称为输入u_j从输出y_i中分离出来的微分延迟r_ij，把r_ij的矩阵R称为微分延迟矩阵。直接考察这组状态方程，这个矩阵无须计算便可直接得到，即仅通过计数每个输入u_j为了能代数影响输出y_i所必须满足的积分器个数便可获得（在习题中会更加详细地讨论一些示例）。每个输出的相对次数可通过取每一行的最小值得到，下面通过一个例子加以说明：

上式所对应系统包括三个输入变量、三个输出变量以及三个相对次数k₁=1，k₂=3，k₃=2。如果存在一个j，满足∀i，r_ij＞k_i（或矩阵内某一列没有加粗元素），则称矩阵R是不平衡的。在该例子中，因为存在一个j（j=2），满足∀i，r_ij＞k_i，所以它是不平衡的。如果矩阵是不平衡的，那么对于所有的i，均有不依赖于u_j。在这种情况下，A（x）的第j列将为0，那么矩阵A（x）将一直是奇异的。因此，式（2.8）将变得没有意义。避免这种情况的一种方法就是在系统之前增加一个或多个积分器来延迟一些输入u_j。在第j个输入之前增加一个积分器，也就意味着对R的第j列加1。在本例中，如果在u₁之前增加一个积分器，可得：

则相对次数变成k₁=2，k₂=3，k₃=2，同时矩阵R也变为平衡的了。