任务二 点、线、面的投影原理
一、任务分析
图221为甘肃省地矿局一堪院庭院绿化设计效果图,设计主要要素有假山、花架、小广场、铺装道路、亭子及园林植物配置,为了表达各要素之间的位置关系和尺寸关系,设计者绘制图22 2所示绿化设计平面图,绘制该平面图主要园林要素在水平面上的水平投影。图223所示为花架设计施工图,其本质是绘制花架各构件棱线、顶点、做成园林实体平面或曲面的投影。庭院绿化园路施工图中,道路断面图的绘制,是在道路设计平面图中,适当的位置选择剖切平面,绘制剖、断面图,其绘制过程实质是绘制剖切平面与实体交面的投影如图224所示。广场施工图中,广场平面图的绘制是绘制广场边缘轮廓线在水平面上的投影,如图225所示。掌握构成园林设计实体点线面投影作图的基本原理,是实现绘制园林设计平面图和立面图最基本的能力要求,同时也可以培养提高学生的空间思维能力。
图221 甘肃省地矿局一勘院庭院绿化设计效果图
图222 甘肃省地矿局一勘院庭院绿化设计平面图
图223 花架设计施工图
图224 园路设计施工图
图225 广场施工图
二、点的三面投影
1.点的表示方法
投影作图中规定,空间形体上的几何元素用大写字母表示,它们的投影用相应的小写字母表示。为了区分不同投影面上的投影,还规定水平投影用相应的小写字母、正面投影用相应的小写字母加一撇、侧面投影用相应的小写字母加两撇表示。如空间点A,其投影分别用a、a′和a″表示。如图
226所示。
2.点的三面投影
设空间有一点A,将它放在三面投影体系中,过A点分别向H、V和W面作投影线,投影线与三投影面的交点即为点A的三面投影。即水平投影a,正面投影a′和侧面投影a″。
图226 点的投影
点的两面投影连线与投影轴相交处一般可不必标注,如需要标注时,可用相应的小写字母在其右
下角加上投影轴的代号即可,如ax,az,ayh,ayW。
3.点的投影规律
从图226中可以看出,过点A向H面和V面所作的投影线Aa、Aa′确定了一个平面Aa′aXa,这个平面同时垂直于H面和V面。因此,该平面与H面和V面的交线必互相垂直,即aaX垂直于a′aX,aaX垂直于OX。当三投影面展开后(图226),点A的水平投影a和正面投影a′的连线,必垂直于OX轴,即aa′垂直于OX。由此可得:一点的两面投影连线,必定垂直于相应的投影轴。
从矩形平面Aa′aXa可知,a′aX=Aa,aaX=Aa′,而Aa和而Aa′分别表示空间点A到H面和V
面的距离,因此a′到OX轴的距离a′aX,即表示点A到H面的距离,而a到OX轴的距离aaX即表示点A到V面的距离。同理a到OY轴或a′到OZ轴的距离aaYH或a′aZ,表示点A到W面的距离。由此可得:一点到某一投影面的距离,等于该点在另一投影面上的投影到其相应投影轴的距离。
分析点的三面投影规律如下。
(1)点的水平投影与正投影的连线垂直于OX轴。点的水平投影到OY轴的距离,等于正面投影到OZ轴的距离,它们都反映点到W面的距离。
(2)点的正面投影和侧面投影的连线垂直于OZ轴。点的正面投影到OX轴的距离,等于侧面投影到OY轴的距离,它们都反映点到H面的距离。
(3)点的水平投影到OX轴的距离,等于侧面投影到OZ轴的距离,它们都反映点到V面的距离。
由以上规律可知:只要给出点的任意两面投影,就可以求出其第三面投影。4.重影点
在某一个投影面上投影重合的两个点,称为该投影面的重影点。如图227所示,空间A、B两点,同时在一根垂直于H面投影线上,其H投影重合在一起。向H面作投射时,投射线先遇到点A,后遇到点B。点A位可见点,点B位不可见点,不可见点投影应加以括号。空间C、D两点,同时在一根垂直于V面投影线上,其V投影重合在一起。向V面作投射时,投射线先遇到点C,后
·正面投影———前遮后·水平投影———上遮下·侧面投影———左遮右
图227 重影点的投影
图228 直线的投影
三、直线的投影
(一)各种位置直线的投影
直线是点的集合。要作直线的投影,实质上就是直线上各点投影的集合。
如图228所示,作直线AB在H面上的投影的方法:过AB上的点A、C、D、B,向H面作投影线得各交点,把H面的交点连接起来,即得直线AB在H面上的投影ab。因为过AB上各点向H面所作的投影线均垂直于H面,所以AB在H面上的投影仍为直线;一般情况下:直线的投影仍为一条直线。
表221
投影面平行线的投影特性
在三面投影体系内,直线相对于投影面有三种不同的位置。
(1)平行于某一个投影面而倾斜于另外两个投影面的直线,称为投影面平行线。(2)垂直于某一个投影面而平行于另外两个投影面的直线,称为投影面垂直线。(3)与三个投影面都倾斜的直线,称为一般位置直线。
投影面平行线和投影面垂直线,称为特殊位置直线。倾斜于投影面的直线与投影面之间的夹角,称为直线对投影面的倾角。直线对H、V和W面的倾角,分别用α、β和γ表示。
1.投影面的平行线(1)投影面平行线
直线只平行于H面,称为水平面平行线,简称水平线。直线只平行于V面,称为正面平行线,简称正平线。直线只平行于W面,称为侧面平行线,简称侧平线。(2)投影面平行线的投影及其投影特征
由表221可得出投影面平行线的投影特性为:直线平行于某一投影面,则在该投形面上的投影,反映直线的实长及直线对其他两个投影面的倾角。在另外两个投影面上的投影,分别平行于相应的投影轴,但不反映实长。
2.投影面的垂直线
(1)投影面垂直线的分类。
直线垂直于H面,称为水平面的垂直线,简称铅垂线。直线垂直于V面,称为正面垂直线,简称正垂线。
直线垂直于W面,称为侧面垂直线,简称侧垂线。(2)投影面垂直线的投影及其投影特征。
铅垂线、正垂线和侧垂线的投影及投影特性见表222。可得出投影面垂直线的投影特性为:直线垂直于某一投影面,则在该投影面上的投影积聚成一点。在另外两个投影面上的投影分别垂直于相应的投影轴,且反映实长。
3.一般位置直线
图229为一般位置直线的投影图。根据直线的投影特性,当直线与投影面倾斜时,它的投影仍为直线,但长度缩短。由于一般位置直线和三个投影面都倾斜所以它在三个投影面的投影均为直线,且长度缩短。
由此可见:一般位置直线的三个投影与投影轴都处于倾斜位置,且不反映实长。其投影与投影轴的夹角,也不反映直线对投影面的倾角。
4.作直线投影的方法
要作直线的投影,只要作出直线上两个端点的投影,将其同面投影相连,即得直线的投影。
图229 各种位置直线的投影
图2210 判别点是否在直线上
(二)直线上的点
判断点在直线上的方法:
一般情况下,判断点是否在直线上,可由它的任意两个投影来决定,如图2210所示。
如果直线平行于某个投影面时,还应根据直线在所平行的投影面上的投影,才能判断点是否在直
线上,如图2211所示。
图2211 侧平线上的点
四、平面的投影
(一)平面的表示方法
在投影图上表示平面的方法有两种。1.用几何元素表示平面
(1)不在同一直线上的三点表示一个平面,见图2
2 12(a)。
(2)一直线和线外一点表示一个平面[图2212
(b)]。
(3)相交两直线表示一个平面[图2 2 12(c)]。(4)平行两直线表示一个平面[图2 2 12(d)]。
(5)平面图形(如三角形、圆、多边形等)表示一个平面[图2 2 12(e)]。
在上述用几何元素表示平面的方法中,较多采用平面图形来表示一个平面。这个平面图形可只表示其本身,也可表示其本身在内的一个无限广阔的平面,我们统称为平面。
图2212 用几何元素表示平面
图2213 用迹线表示平面
2.用迹线表示平面
前面讲过,平面可以理解为是无限广阔的,这样平面必然要与投影面产生交线。这种平面与投影面的交线称为迹线(图2213)。有一平面P,它与H面的交线称为水平迹线,用PH表示;与V面的交线称为正面迹线,用PV表示;与侧面的交线称为侧面迹线,用PW表示。平面P与投影轴的
(二)各种位置平面的投影
在三面投影体系中,平面相对于投影面,有三种不同的位置。
(1)即平行于某个投影面而垂直于另外两个投影面的平面,称为投影面平行面。(2)垂直于某个投影面而倾斜于另外两个投影面的平面,称为投影面垂直面。(3)倾斜于三个投影面的平面,称为一般位置平面。
投影面平行面与投影面垂直面,统称为特殊位置平面。平面与投影面之间的夹角称为倾角,平面对H面、V面和W面的倾角,分别用α、β和γ表示。
1.投影面平行面
平行于某个投影面而垂直于另外两个投影面的平面,称为投影面平行面。(1)投影面平行面分为三种。
1)平行于水平投影面的平面,称为水平面平行面,简称为水平面。2)平行与正立投影面的平面称为正面平行面,简称正平面。
3)平行于侧立投影面的平面,称为侧面平行面、简称为侧平面。(2)投影面平行面的投影及投影特征。
水平面、正平面和侧平面的投影特征见表223。
由此可知:平面平行于某个投影面,则平面在该投影面上的投影反映实形,在另外两个投影面上的投影积聚为一条直线,且分别平行于相应的投影轴。
表223
水平面和正平面和侧平面的投影特征
2.投影面垂直面
垂直于某个投影面而倾斜于另外两个投影面的平面,称为投影面垂直面。
1)垂直于H面的平面称为水平面垂直面,简称铅垂面。2)垂直于V面的平面称为正面垂直面,简称正垂面。3)垂直于W面的平面称为侧面垂直面,简称侧垂面。(2)投影面垂直面的投影及投影特征。
铅垂面、正垂面和侧垂面的投影特征如表224所示。
表224
铅垂面、正垂面和侧垂面的投影特征
由此可知:平面垂直于某个投影面,则在该投影面上的投影积聚为一直线,此直线与两投影轴的夹角,分别反映平面对其他两投影面的倾角;在其他两个投影面上的投影为该平面的相似形。
3.一般位置平面
对三个投影面都倾斜的平面,称为一般位置平面。一般位置平面的任何一个投影,既不反映平面图形的实形,也没有积聚性。一般位置平面的各个投影,仍是平面图形,且为空间图形的相似形。
(三)作平面投影的方法
当平面用几何元素表示时,求作平面的投影,实质上也就是求作组成平面的点和直线的投影。