任务三 基本形体的投影
一、立体的三视图及投影规律
由若干个平面或曲面围成的形体称为立体。棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、圆球等常见的立体称为基
图231 基本体
平面立体：由平面围成的基本体称为平面立体。常见的平面立体有棱柱、棱锥等。
曲面立体：由曲面或由平面和曲面围成的基本体称为曲面立体。常见的曲面立体有圆柱、圆锥、圆球、圆环等。掌握基本体的作图方法，是绘制和识读工程图样的基础。
二、平面立体的投影
由于平面立体是由点、线、面组成的，因此作平面立体的三视图，可归结为绘制其各表面、棱线及各顶点的投影。作图时应注意判别其可见性，要把可见棱线的投影画成粗实线，不可见棱线的投影画成虚线。
（一）棱柱1.棱柱的投影
棱柱由两个端面和若干个侧面组成，两个端面是全等且相互平行的多边形，侧面为平行四边形，相邻两侧面的交线称为棱线，棱线相互平行。侧面与端面垂直的棱柱称为正棱柱，正棱柱的侧面为矩形。本节只讨论正棱柱的投影。
图232 正六棱柱的投影及表面取点
投影分析：以图2 3 2（a）所示的正六棱柱为例，其上下两端面均为水平面，水平投影反映两端面的实形，正面投影和侧面投影均积聚为一条直线。由于6个侧面均与水平投影面垂直，所以各侧面在水平投影面上的投影均有积聚性，分别与顶面、底面边线的水平投影重合。前后两个侧面为正平
面，与V面投影重合，且反映实形，W面投影都积聚成平行于Z轴的直线；其余4个侧面都为铅垂面，V面和W面投影均为实形的相似形，且两侧面投影对应重合。
作图步骤：先画出对称图形的中心线、对称线，再画出反映上下两个端面实形的水平投影，即正六边形，再根据投影规律画出另外两个投影面的积聚投影，最后根据投影规律画侧棱的各面投影，注意侧棱投影的可见性。当多种图线发生重叠时，应按粗实线、虚线、点划线的顺序绘制，正六棱柱的
三视图如图2 3 2（b）所示。
2.棱柱表面的点
棱柱表面上取点与平面上取点的方法相同，先确定点所在的平面，根据该平面的投影特性来确定点的投影。若该平面垂直于某一投影面，则点在该投影面上的投影必定落在此平面的积聚性投影上。
【例1】已知棱柱表面上M点的正面投影m′，求作M点的其他两投影m、m″。
分析并作图：如图2 3 2（b）所示，因为M点的V面投影m′可见，所以M点必在侧面AB-CD上。此侧面是铅垂面，其水平投影积聚成直线，M点的H面投影m必在该线上，由m′和m可求得W面投影m″。由于侧面ABCD的W面投影可见，故m″可见。
（二）棱锥1.棱锥的投影
投影分析：以图233所示的正三棱锥为例。正三棱锥底面ABC为水平面，其H面投影反映底面实形，V面和W面投影分别积聚成直线；该棱锥的后侧面SAC为侧垂面，它的W面投影积聚成一条斜线，其V面和H面的投影为△SAC的相似形；左右两个侧面SAB和SBC为一般位置平面，它在3个投影面上的投影均为相似形；根据各侧面及底面之间的位置关系，判定其在投影面上投影的可见性。各条棱线的投影请读者自行分析。
图233 三棱锥的投影及表面取点
作图步骤：先画底面三角形的水平投影及其在另外两个投影面上的投影，再画锥顶的各面投影，最后作锥顶点与底面各顶点的连线，判别各棱线投影的可见性，绘出三棱锥的三面投影。
2.棱锥表面的点
首先确定点所在的平面，根据点所在的平面来确定点的投影，在特殊位置平面上点的投影可利用
【例2】已知正三棱锥表面上M点的正面投影m′，求作M点的其他两面投影m、m″。
分析并作图：如图2 3 3（b）所示，因为M点的V面投影m′可见，且在s′a′b′内，所以M点必在侧面SAB上。侧面SAB是一般位置平面，因此采用辅助线法求M点的另外两面投影。
过M点及锥顶点S作一条辅助线，与底边AB交于D点，作出直线SD的H面投影，根据M点在直线SD上的投影特性，作出M点的H面投影m，最后根据点的投影特性，作出W面的投影m″。
此外，还可在点所在的侧面上，过所求点任作一条直线，亦可求出该点另外两面的投影。
三、曲面立体的投影
曲面立体是由曲面或由平面和曲面所围成的几何形体。在工程中，常见的曲面立体有圆柱、圆锥、圆球和圆环等，这些都是曲面立体中最基本的形体。曲面立体中的曲面可以看成是由直线或曲线（称为母线）绕着一条直线（称为轴线）旋转而形成的，该曲面称为回转面，曲面立体也称为回转体。
（一）圆柱1.圆柱的投影
投影分析：如图2 3 4（a）所示，圆柱体由圆柱面和上、下两个端面组成。上、下两个端面为水平面，在H面上的投影反映端面圆实形，且两端面投影重合，其他两面投影积聚为直线；圆柱面垂直于H面，在H面上的投影积聚为一圆周。圆柱面上最左、最右两条素线AA1、BB1的正面投影a′a′1、b′b′1，是圆柱面正面转向轮廓线，它是圆柱面在正面投影中（前半个圆柱面）可见和（后半个圆柱面）不可见部分的分界线，这两条轮廓线AA1、BB1的水平投影与端面圆中心线的水平投影重合，W面投影与圆柱轴线的W面投影重合，均省略不画。圆柱面上最前、最后两条素线的W面投影，是圆柱面的侧面转向轮廓线，具体分析同上。
图234 圆柱的投影
作图步骤：如图2 3 4（b）所示，先画出圆的中心线和圆柱的轴线，然后画出端面和圆柱面有积聚性的投影，再根据投影关系画出圆柱的另外两面投影（为同样大小的两矩形）。
根据圆柱面的投影具有积聚性的特点，圆柱面上的点必定落在圆柱面上具有积聚性的投影上，由此可确定点的另外两面投影。
【例3】如图2 3 5（a）所示，已知圆柱表面上M点和N点的V面投影m′、n′，求作其他两面投影。
分析并作图：由m′的位置及其可见性，可知M点必在前半个圆柱面上，根据该圆柱面水平投影具有积聚性的特点，m必落在水平投影前半圆上，由m、m′即可求出m″。由于N点在圆柱的转向线上，所以其另外两投影可直接求出。最后根据点所在的位置判断点投影的可见性，作图过程如图2
3 5（b）所示。
图235 圆柱表面取点
（二）圆锥
图236 圆锥的投影
1.圆锥的投影
投影分析：如图2 3 6（a）所示，圆锥底面为水平面，其水平投影为反映底面实形的圆。底面的正面和侧面投影均积聚为直线，长度等于底圆的直径。圆锥面为一般位置曲面，其水平投影为圆，且与圆锥底面的水平投影重合，整个圆锥面的水平投影都可见，而圆锥底面的水平投影不可见。正面和侧面的投影均为大小相等的等腰三角形。
圆锥面上最左、最右两条素线SA、SB的正面投影s′a′、s′b′，是圆锥面正面投影的转向轮廓线，它是圆锥面在正面投影中（前半个圆锥面）可见和（后半个圆锥面）不可见部分的分界线，在正面投影中需要画出。这两条轮廓线SA、SB的水平投影与圆锥底面中心线的水平投影重合，侧面投影与圆锥轴线的侧面投影重合，均省略不画。圆锥面上最前、最后两条素线SC、SD的侧面投影s″c″、s″d″是圆锥面的侧面投影的转向轮廓线，具体分析同上。
作图步骤：如图2 3 6（b）所示，圆锥面是一条直线母线绕与它相交的轴线回转而成的。作图时，先画出轴线、中心线及平面圆的各面投影，再画出锥顶的投影，然后分别画出其外形轮廓线，完成圆锥的各面投影。
2.圆锥面上的点
圆锥面上取点，通常采用素线法和纬圆法。
【例4】已知圆锥表面上M点的正面投影m′，求作M点的其他两面投影m、m″。
投影分析：在回转面的形成过程中，母线移动到曲面上的任一位置时，称为曲面的素线。圆锥面上任一点与锥顶的连线均是圆锥面上的素线。作图时，可以通过先求素线的投影，再求素线上点的投影来找点，这种利用圆锥面上的素线求点的方法称为辅助素线法，简称为素线法。圆柱、圆锥、圆球和圆环在形成回转面时，母线上的各点都会随母线一起绕轴线旋转，形成回转面上的与轴线垂直的圆，称为纬圆。求圆锥面上点的投影，可先求出点所在纬圆的投影，再利用纬圆求出点的投影，这种方法称为纬圆法。
作图步骤：如图23 7所示，由于m′可见，因此M点必在前半个圆锥面上，具体作图方法如下。
图237 圆锥面取点
（1）素线法。如图2 3 7（b）所示，过锥顶S和M点作一辅助素线SA，即连接s′m′并延长到与底圆的正面投影相交，交点为a′，根据s′a′求得sa和s″a″，再根据点在直线上的投影性质，由
m′求出m和m″。
（2）纬圆法。如图2 3 7（c）所示，过M点作一个垂直于回转轴线的水平辅助圆，即纬圆，该纬圆的正面投影过m′，且平行于底面圆的正面投影，它的水平投影为一直径等于1′2′的圆，m必在此圆周上，由m′和m可求出m″。
（三）圆球1.圆球的投影
投影分析：如图238所示，圆球的三面投影均为与其直径相等的圆。它们分别是三个不同方向的转向轮廓线的投影。正面投影上的圆是球面上平行于V面的最大正平圆的投影，该圆为圆球前半球面和后半球面的分界线，也是圆球正面投影的转向轮廓线。同理水平投影圆是球面上平行于H面的最大水平圆的投影，该圆为圆球上半球面和下半球面的分界线。侧面投影圆是球面上平行于W面的最大侧平圆的投影，它是圆球左半球面和右半球面的分界线。
图238 圆球的投影及表面取点
作图步骤：先画出三面投影中圆的对称中心线，其交点为球心的投影，然后再画出3个与球直径
相等的圆，如图2 3 8（b）所示。
2.圆球面上的点
球表面取点，必须采用辅助圆法求其表面上点的投影。
【例5】如图2 3 8（b）所示，已知球面上M点的H面投影m，求M点的另外两面投影。分析并作图：根据M点的H面投影m的位置和可见性，可知M点在前半球的左上部分，因此
M点的三面投影均可见。采用辅助圆法求M点的投影。过点m在球面上作一个与V面平行的辅助圆（也可作平行于H面或W面的辅助圆），由于点在辅助圆上，因此点的投影必在辅助圆的同面投影上。求M点的V、W面投影时，应先在H面上过m点作球面轮廓线范围内的水平线12，这根水平线就是包含M点的正平纬圆的H面投影，线段的长度就是这个纬圆的直径。根据纬圆的直径，直接作出纬圆的V面投影，然后在V面纬圆投影上求出M点的投影m′，最后再根据M点的两面投影m、m′，求其第三面投影m″。
（四）圆环1.圆环的投影
投影分析：圆环由环面围成，环面由一圆母线绕一个与圆平面共面但不通过圆心的轴线回转而成。当回转轴线为铅垂线时，母线在回转过程中，母线的最高、最低点所形成的圆，分别称为最高圆
和最低圆，它们是外环面与内环面的分界线；母线最左、最右点所形成的圆，分别称为最大圆和最小圆，它们是上环面和下环面的分界线。以轴线垂直于H面的圆环为例，如图239所示，圆环的H面投影是3个同心圆（其中两个实线圆，一个点画线圆），其V面投影和W面投影形状完全一样。圆环投影中的轮廓线是环面上相应转向轮廓线的投影。V面投影中左、右两个圆是环面上平行于V面的两个圆的投影，即环面上最左、最右圆素线的投影，它们是前半个环面和后半个环面的分界线。W面投影中前、后两个圆是环面上平行于W面的两个圆的投影，即环面上最前、最后圆素线的投影，它们是左半个环面和右半个环面的分界线。V面和W面投影中上、下两直线是环面上最高和最低圆的投影。H面投影中最大和最小两实线圆是环面上最大和最小圆的投影，并且是区分上、下环面的转向轮廓线，点画线圆是母线圆心的轨迹。
图239 圆环的投影
图2310 圆环表面取点
作图步骤：先画出圆环轴线及对称中心线，再画与轴线垂直的投影面上的投影，即3个同心圆（两个实线圆，一个点画线圆），然后画另外两个投影面的投影（形状相同）。
2.圆环面上的点
在环面上取点采用辅助圆法。
【例6】已知圆环面上M点的正面投影m′，求作M点的另外两面投影m、m″。
分析并作图：如图2310所示，由M点的V面投影m′所在的位置及可见性，可知M点位于外环面的前左上方，其在H、W面
上的投影m、m″均可见。先过M点作一平行于H面的辅助圆，该辅助圆在V面的投影为过m′的直线1′2′，它的H面投影为一直径等于线段1′2′长的圆，M点的H面投影m必在此圆周上，过m′作投影线求出m，最后再由m、m′求出m″。
