4.3 基础最终沉降量

基础最终沉降量是指地基变形达到稳定后基础底面的最大沉降量。基础最终沉降量的计算方法有多种，本节仅介绍基于分层总和法原理的几种计算方法。

4.3.1 分层总和法

1.基本假设

在采用分层总和法计算地基最终沉降量时，通常假定：

（1）地基是均质、各向同性的半无限线性变形体，可按弹性理论计算土中应力。

（2）在压力作用下，地基土侧向变形可以忽略，因此可采用侧限条件下的压缩性指标。

为了弥补由于忽略地基土侧向变形而对计算结果造成的误差，通常取基底中心点下的附加应力进行计算，并以基底中点的沉降代表基础的平均沉降。

图4.11 单一土层的沉降计算

2.单向压缩基本公式

对于如图4.11所示的薄可压缩层，设基底宽度为b，可压缩土层厚度为H（H≤0.5b），由于基础底面和不可压缩层顶面的摩阻力对可压缩土层的限制作用，土层压缩时的侧向变形较少，因而可认为土层受力条件近似于侧限压缩试验中土样受力条件。当竖向压力从自重应力p₁增加到总压力p₂（自重应力与附加应力之和）时，将引起土体的孔隙比从e₁减小到e₂，参照式（4.1）可得

式中：s为侧限条件下土层的最终压缩量；H为可压缩层厚度；e₁为可压缩层顶、底面处自重应力的平均值σ_c=p₁对应的孔隙比，由e-p曲线获得；e₂为可压缩层顶、底面处自重应力平均值σ_c与附加应力平均值σ_z之和p₂=σ_c+σ_z=p₁+Δp对应的孔隙比，由e-p曲线获得。

式（4.12）即为单一压缩土层的一维沉降计算公式，根据指标间的换算关系，亦可写成

式中：a为相应于p₁和p₂的压缩系数；E_s为相应的压缩模量；H为土层厚度；Δp为可压缩土层的平均附加应力，Δp=p₂-p₁。

对于实际工程来说，大多是如图4.12所示的成层地基，此时可在确定压缩层计算深度的前提下，分别计算每一分层的沉降Δs_i，然后将其求和，此即为分层总和法。

即

图4.12 成层地基的沉降计算

式中：n为沉降计算深度Z_n范围内的土层数；ε_i为第i土层的压缩应变；H_i为第i土层厚度，mm；e_1i为根据第i土层的自重应力均值从土的e p压缩曲线上得到的相应孔隙比；e_2i为由第i土层的自重应力均值与附加应力均值之和从土的e p压缩曲线上得到的相应孔隙比；其余符号意义同前。

采用式（4.14）进行单向压缩分层总和法计算地基沉降的步骤如下：

（1）绘制基础中心点下地基中自重应力和附加应力分布曲线。对于正常固结土，计算自重应力的目的是为了确定地基土的初始孔隙比，因此，应从天然地面起算，而附加应力是指可使地基土产生新的压缩的应力，应根据基底附加压力按第3章所述方法从基底面起算。

（2）确定地基沉降计算深度。沉降计算深度Z_n是指由基础底面向下计算压缩变形所要求的深度，从图4.12可见，附加应力随深度递减，自重应力随深度递增，至深度z_n后，附加应力与自重应力相比已经很小，所引起的压缩变形可忽略不计，因此沉降计算到此深度即可。根据此“应力比法”的思路，一般取附加应力与自重应力的比值为20%处所对应的距基底的深度为沉降计算深度：

如果是软土，需加大沉降计算深度，上式改为σ_z=0.1σ_c。如果在沉降计算深度范围内存在基岩，则Z_n可取至基岩表面。

（3）确定沉降计算深度范围内的分层界面。沉降计算分层界面可按下述两个原则确定：①不同土层的分界面与地下水位面；②每一分层厚度H_i不大于基底宽度的2/5，即H_i≤0.4b。

（4）计算各分层沉降量。首先根据自重应力和附加应力分布曲线确定各分层的自重应力平均值σ_ci和附加应力平均值，然后根据，分别由e p压缩曲线确定相应的初始孔隙比e_1i和压缩稳定以后的孔隙比e_2i，按下式计算任一分层的沉降量：

（5）计算地基最终沉降。按式（4.14）计算出基础中点的最终沉降s，将其视为基础的平均沉降。

【例4.1】 某柱下单独基础，底面尺寸为4m×4m，埋深d=1.2m，地基为粉质黏土，地下水位距天然地面3.6m。已知上部结构传至基础顶面的荷重F=1550kN，土体重度γ=16.5kN/m³，γ_sat=18.5kN/m³，其他有关计算资料如图4.13所示。试用分层总和法计算基础的最终沉降量。

图4.13 ［例4.1］图1

（a）地基与基础特征；（b）地基土压缩曲线

解：

（1）计算分层厚度。根据每土层厚度h_i<0.4b=1.6m。所以基底至地下水位范围分2层，各1.2m，地下水位以下按每层1.6m进行分层。

（2）计算地基土的自重应力。自重应力从天然地面起算，z的取值从基底面起算。

（3）计算基底压力。

（4）计算基底附加压力。

p ₀=p-γd=120.9-16.5×1.2=101.1(kPa)

（5）计算基础中点下地基中的附加应力。采用角点法，过基底中点将荷载面四等分，计算边长l=b=2m，σ_z=4α_cp₀，α_c由表3.2确定，计算结果见表4.1，自重应力和附加应力分布特征如图4.14所示。

（6）确定沉降计算深度z_n。根据σ_z=0.2σ_c的确定原则，由表4.1的计算结果，可取z_n=7.2m。

（7）最终沉降量计算。由如图4.13（b）所示压缩曲线，根据，首先计算各分层沉降量，然后求其总和，计算结果见表4.2。

所以，按分层总和法求得的基础最终沉降量为s=58.8mm。

图4.14 ［例4.1］图2

4.3.2 分层总和法的规范修正公式

《建筑地基基础设计规范》（GB 50007—2011）基于各向同性均质线性变形体理论提出分层总和法的修正公式，该方法仍然采用前述分层总和法的假设前提，但在计算中引入了平均附加应力系数和经验修正系数，以使计算成果更接近实际值。平均附加应力系数的概念如图4.15所示。

图4.15 平均附加应力系数

1.规范修正公式

假设地基土均质，土在侧限条件下的压缩模量E_s不随深度而变，则根据前述土的压缩性原理，从基底至地基任意深度z范围内的压缩总量为

式中：σ_z为附加应力σ_z=αp₀，α为地基竖向附加应力系数，p₀为基底附加压力；A为深度z范围内的附加应力面积，可表示为

即

引入深度z范围内的平均附加应力系数α

则如图4.15所示，附加应力面积等代值可表示为

将式（4.20）代入式（4.18），得

式（4.21）即是以附加应力面积等代值A导出的、以平均附加应力系数表达的地基变形计算公式。

对于如图4.16所示的成层地基，第i分层的沉降计算公式可表示为

式中：z_i、z_i-1为基础底面至第i层土、第i-1层土底面的距离，m；E_si为基础底面下第i层土的压缩模量，MPa，取土的自重压力至土的自重压力与附加应力之和的压力段计算；为z_i和z_i-1范围内的变形量，mm；为z_i和z_i-1范围内竖向平均附加应力系数；p₀z_iα_i为z_i范围内附加应力面积A_i的等代值 （图4.16中面积1234）；为z_i-1范围内附加应力面积A_i-1的等代值 （图4.16中面积1256）；ΔA_i为第i分层的竖向附加应力面积 （图4.16中面积5634）；p₀ 为对应于荷载标准值的基础底面处的附加压力，kPa。

根据分层总和法基本原理可得基于平均附加应力系数的地基变形计算公式为

图4.16 附加应力面积等代值计算

2.沉降计算深度

采用规范修正公式计算地基变形量时，计算深度z_n采用“变形比法”确定，即

式中：为在计算深度范围内第i层土的计算变形量；为在由计算深度处向上取厚度Δz土层的计算变形量，Δz值意义如图4.16所示并按表4.3确定。

若确定的计算深度下部仍有软弱土层，则应继续向下计算。

当无相邻荷载影响，基础宽度b在1～50m范围内时，基础中点的地基变形计算深度可简化为

如果在计算深度范围内存在基岩，z_n可取至基岩表面；如果存在较厚的坚硬黏性土层，其孔隙比小于0.5、压缩模量大于50MPa，或存在较厚的密实砂卵石层，其压缩模量大于80MPa时，z_n可取至该土层表面。

3.经验修正系数

为提高计算的准确性，现行规范引入了沉降计算经验系数ψ_s来修正按式（4.22）所得的成层地基最终变形量，即

式中：ψ_s为沉降计算经验系数，根据地区沉降观测资料及经验确定，无地区经验时可根据变形计算深度范围内压缩模量的当量值按基底压力确定，取值见表4.4；n为地基沉降计算范围内所划分的土层数；为z_i和z_i-1范围内竖向平均附加应力系数，按表4.5、表4.6确定。

式中：e₁为自重压力下的孔隙比；a为从土体自重压力至土的自重压力与附加压力之和压力段的压缩系数；A_i为第i层土的附加应力面积；其余符号意义同前。

【例4.2】 按分层总和法规范修正公式计算［例4.1］所示基础中点的最终沉降量，已知f_ak=94kPa，其他计算资料不变。

解：

（1）σ_c、σ_z分布及p₀值计算见［例4.1］步骤（1）～（5）。

（2）计算E_s。根据已知条件，由式确定各分层E_si，其中p_2i。计算结果见表4.7。

（3）计算。根据角点法，过基底中点将荷载面4等分，各计算区域边长l_i=b_i=2m，由表4.5确定α。计算结果见表4.7。

（4）确定沉降计算深度z_n。根据基础条件及基底宽度由式（4.25）计算得

z_n=b(2.5-0.4lnb)=4×(2.5-0.4ln4)=7.8(m)

（5）计算各分层沉降量Δs′_i。

由式和前述ΔE_si、的计算结果，求得各分层沉降量。计算结果见表4.7。

（6）确定计算沉降量s′。由式s′=和各分层沉降量计算结果求得s′=58.7mm。由表4.7结果可知：Δz=0.6m，相应的=0.9mm，有

满足沉降计算深度要求。

（7）确定修正系数_ψs。根据式，求得：=6.09MPa。

由p₀>f_ak查表4.4得ψ_s=1.09。

（8）计算基础最终沉降。

所以，由分层总和法规范修正公式求得的基础最终沉降量s=63.9mm。

4.3.3 应力历史法

4.3.1和4.3.2小节所述的分层总和法所采用的压缩性指标都是通过e-p曲线获得，所以也被称为e-p曲线法。应力历史法仍然是采用分层总和法的单向压缩公式，与前不同的是所采用的压缩性指标是从由e-lgp曲线推求的原位压缩曲线获得，因此也将其称为e-lgp曲线法，该法通过原位压缩曲线考虑了应力历史对沉降的影响。

1.正常固结土（层）

根据原位压缩曲线确定压缩指数C_c，按下述公式计算固结沉降s_c（图4.17）：

图4.17 正常固结土沉降计算

式中：ε_i为第i分层的压缩应变；H_i为第i分层厚度；Δe_i为从原位压缩曲线确定的第i层的孔隙比变化；e_0i为第i层土的初始孔隙比；p_1i和Δp_i分别为第i层土的自重应力均值和附加应力均值；C_c为原位压缩曲线的斜率。

2.超固结土（层）

根据原位压缩曲线和原位再压缩曲线确定土的压缩指数C_c和回弹指数C_e。计算中注意区分两种情况：一是各分层平均固结压力Δp>p_c-p₁，二是Δp≤p_c-p₁。

对于Δp>p_c-p₁情况［图4.18（a）］，土体在Δp_i作用下，孔隙比将先沿原位再压缩曲线b₁b段减少Δe′，然后沿原位压缩曲线bc段减少Δe″，相应于Δp的孔隙比变化Δe应等于这两部分变形之和。即

由此得各分层的固结沉降量总和为

式中：n为压缩土层中固结压力Δp>p_c-p₁的分层数；C_ei、C_ci为第i层土的回弹指数和压缩指数；p_ci为第i层土的先期固结压力。

对于Δp≤p_c-p₁情况［图4.18（b）］，分层土的孔隙比变化Δe只沿再压缩曲线b₁b发生：

各分层固结沉降量

图4.18 超固结土沉降计算

(a)Δp>p_c-p₁;(b)Δp≤p_c-p₁

式中：m为压缩土层中Δp≤p_c-p₁的分层数；其余符号意义同前。

3.欠固结土（层）

欠固结土的沉降计算必须考虑自重应力作用下固结还没有达到稳定的那一部分沉降。孔隙比变化可近似按正常固结土方法求得的原位压缩曲线确定 （图4.19），固结沉降除了附加应力引起的沉降外，还包含自重应力作用下土层继续固结引起的沉降：

图4.19 欠固结土沉降计算

式中：p_ci为第i层土的实际有效压力，小于土的自重应力p_1i。

4.3.4 沉降计算方法讨论

1.分层总和法

（1）该方法的主要特点是原理简单，应用方便，长期以来积累了较多的经验。但是该方法在计算中假定土体无侧向变形，这只有当基础面积较大，可压缩土层较薄时才比较符合实际情况，而在一般情况下，将由于这一假定使得计算结果偏小。另一方面，计算中采用的基础中心点下土的附加应力一般大于基础底面其他点下的附加应力，因而把基础中心点的沉降作为整个基础的平均沉降时可能又会使计算结果偏大。这两个相反的因素在一定程度上可能会相互抵消一部分，但其精确误差目前还难以估计。再加上许多其他因素造成的误差，如室内固结试验成果对土体实际性状描述的准确性、土层非均匀性对附加应力的影响、上部结构对基础沉降的调整作用等，都会使得分层总和法的计算结果与实际沉降存在差异。规范修正公式中引入的经验系数ψ_s可以对各种因素造成的沉降计算误差进行适当修正，以使计算结果更接近实际值。

（2）对于欠固结土层，由于土体在自重作用下尚未达到压缩稳定，所以在附加应力考虑中还应包括土体自重应力，即此时的分层总和法中应考虑土体在自重作用下的压缩量。

（3）有相邻荷载作用时，应将相邻荷载在沉降计算点各深度处引起的应力叠加到附加应力中去。

（4）当基础埋置较深时，应考虑开挖基坑时地基土的回弹，根据现行规范，该部分回弹变形量可按下式计算：

式中：s_c为地基的回弹变形量； ψ_c为考虑回弹影响的经验系数，无地区经验时可取1.0；p_c为基坑底面以上土的自重压力，地下水位以下应扣除浮力； E_ci为土的回弹模量，通过试验确定。

2.应力历史法

应力历史法虽然也采用分层总和法的单向压缩公式，但由于土的压缩性指标是基于原位压缩曲线确定的，所以能在一定程度上考虑应力历史对土体变形的影响，其结果优于基于ep曲线的分析结果。应注意的是，推求原位压缩曲线所依据的室内elgp曲线需在高压固结仪上完成。

3.黏性土沉降的3个组成部分

根据对黏性土地基在局部荷载作用下的实际变形特征的观察，可以认为黏性土地基的最终沉降量s是由机理不同的三部分沉降组成，如图4.20所示。

图4.20 黏性土沉降的3个组成部分

式中：s_d为瞬时沉降（亦称初始沉降）；s_c为固结沉降（亦称主固结沉降）；s_s为次固结沉降（亦称蠕变沉降）。

瞬时沉降是指加载后土体即时产生的变形，此时土体只有不排水剪切变形，没有体积变化，这部分沉降可以根据弹性理论来进行计算。固结沉降是指饱和或接近饱和的黏性土在荷载作用下，随着孔隙水压力的消散，土骨架产生变形所造成的沉降，对于软黏土来说，固结沉降占有很大比例且需一定时间才能完成，前述应力历史法所求得的沉降就属于这一种沉降（侧限条件）。次固结沉降是指在有效应力不变的情况下，土的骨架随时间发生的蠕动变形。一般情况下，次固结沉降所占比例较小，但对于塑性高的软黏土，次固结沉降也是不应忽视的。

根据式（4.35）所示的黏性土最终沉降的3个组成部分，有学者（A.W.Skempton&L.Bjerrum，1955）根据各部分变形机理建立了分部计算线性叠加的计算公式，具体计算可参见有关书籍。