4.4 饱和土的一维固结理论
无黏性土地基由于土的透水性强、压缩性低，因而在荷载下的变形一般在较短的时间就能完成。而黏性土地基、特别是饱和黏性土地基，变形可延续较长时间。饱和土体的压缩变形过程，即土体在压力作用下压缩量随时间增长的全过程称为土的固结。对于建造在这一类地基上的建筑物，设计时除了需计算基础的最终沉降外，还需知道固结过程中任意时间的变形，以消除后期变形可能带来的不利影响。
4.4.1 饱和土中的有效应力
1.有效应力原理
土体中承受荷载的任意截面都可被分为颗粒截面和孔隙截面两部分，如图4.21（a）所示。通过颗粒接触点传递的应力被称为土中有效应力，是控制土体变形和强度变化的应力，通过孔隙传递的应力被称为土中孔隙压力，包括孔隙水压力和孔隙气压力，当土体饱和时，就只有孔隙水压力，分静水压力和超静水压力。土中某点的有效应力与孔隙压力之和被称为总应力，对于饱和土体，总应力就是有效应力与孔隙水压力之和。
图4.21 土中总应力与有效应力
（a）土中水平截面；（b）土中非水平截面
为了研究饱和土体中的有效应力，可以截取一个如图4.21（b）所示的截面b-b，与如图4.21（a）所示的a-a截面不同，该截面通过颗粒接触点和面形成一个未截断颗粒的非水平面，假设横截面面积为A×1，总应力σ为附加应力，超静水压力为u。设作用于颗粒接触面i上的力为Fi，相应的接触面积为ai，则各Fi的竖向分量Fiv之和等于横截面积上有效应力合力，即∑Fiv=σ′A，由此可列出横截面上的力平衡方程为
式中：∑ai为颗粒接触面积，当将其忽略时［∑ai通常不大于（2%～3%）A］，上式可表示为
式（4.36）即为著名的饱和土有效应力原理，揭示了饱和土中任意点的总应力σ恒等于有效应力与孔隙水压力之和。
2.土中水渗流对有效应力的影响
图4.22表示一土层剖面，当土层中的地下水处于静止、向下渗流、向上渗流时土体中A、B、C点的总应力σ、孔隙水压力u、有效应力σ′的分布。结果显示渗流不影响土中总应力，但渗流时产生的渗流力将改变土中有效应力和孔隙水压力。土中水向下渗流时，渗流力与土自重应力方向一致，有效应力增加，孔隙水压力减小。土中水向上渗流时，土中有效应力减小，孔隙水压力增加。
图4.22 土中水渗流对有效应力的影响
（a）静水条件下σ、u、σ′分布；（b） 渗流向下时σ、u、σ′分布；（c）渗流向上时σ、u、σ′分布
3.渗透固结对有效应力的影响
饱和土的压缩主要是由于土体在外荷作用下孔隙水被排出、孔隙体积减小所致，而在同等荷载条件下，孔隙水排出速度主要是取决土的渗透性和土层厚度，这种与自由水的渗透速度有关的饱和土固结过程被称为渗透固结。
图4.23为太沙基（1923）建立的模拟饱和土体中某点渗透固结过程的弹簧模型。模型的容器中盛满水，水面设置一个带有排水孔的活塞，下端用一个弹簧支承。在该模型中，弹簧模拟土颗粒骨架，容器内的水模拟土中自由水。p为总应力，此处等于外荷载，u为p在土孔隙水中所引起的超孔隙水压力，σ′为土骨架所传递的压力，即有效应力。
加荷瞬时t=0时［图4.23（a）］，容器中的水来不及排出，不考虑水的压缩性时弹簧此时不受力，全部外荷由孔隙水承担，测压管中水柱上升度高为h，有u=γwh=p，σ′=0。
图4.23 饱和土渗透固结模型
（a）加荷瞬间；（b）排水过程中任一时刻；（c）固结完成
当t>0时［图4.23（b）］，孔隙水在p作用下开始排出，活塞下降，弹簧受到压缩，此时σ′>0，测压管中水柱下降，u=γwh<p。随着容器中水的不断排出，u不断减小，σ′不断增大。
当t→∞时［图4.23（c）］，水从孔隙中被充分排出、弹簧变形达到稳定，活塞不再下降，此时弹簧应力与总应力p平衡，即总应力p全部由土骨架承担，u=0， σ′=p，土的渗透固结完成。
上述模拟表明，饱和土的渗透固结实质是孔隙水压力向有效应力转化的过程，即土体中任一时刻的有效应力σ′都可通过孔隙水压u和总应力p来描述：
式中：p为压缩应力，对于正常固结土，即为土中附加应力σz，对于欠固结土，还需包括自重应力。
在渗透固结过程中，随着孔隙水压力的逐渐消散，有效应力逐渐增长，土的体积也就逐渐减小，强度随之提高。
4.4.2 饱和土的一维固结理论
如图4.24所示，在可压缩层厚度为H的饱和土层表面施加无限均布竖向荷载p，在土中产生的附加应力σz=p沿深度均匀分布，土层只在外荷作用方向产生渗流和变形，属于一维渗透固结情况，与室内侧限压缩试验条件相似。
1.基本假定
一维固结理论的基本假设为：
（1）土层是均质的、各向同性的、完全饱和的。
（2）土粒和孔隙水都是不可压缩的。
（3）土中水的渗流和土的压缩只沿竖向发生。
（4）土中水的渗流服从达西定律。
（5）在渗透固结中，土的渗透系数k和压缩系数a保持不变。
（6）外荷是一次瞬时施加，且在固结过程中保持不变。
图4.24 一维渗透固结过程
（a）土层；（b）微元体
2.微分方程及其解析解
从压缩土层中深度z处取1×1×dz的微元体 [图4.24（b）]，已知土粒体积Vs=
孔隙体积
，这里e1为微元体固结前的初始孔隙比。根据土的压缩性条件，土粒体积Vs在固结过程中保持不变。
设z方向的渗透系数为k，水力梯度为i，透水面下z深度处的超静水头为h，微元土体截面积为A，则根据达西定律，加荷dt时间内z方向流入和流出微元体的单位渗流量分别为
根据水流连续性原理，微元体在dt时间的渗水量变化（渗出）为
微元体孔隙体积Vv=Vw的变化量（减少）为
在dt时间内，微元体中孔隙体积的变化等于同一时间内从微元体中流出的水量，亦即
由式（4.38）和式（4.39），有
整理得
根据侧限条件下土的压缩系数定义a=-de/dp=-de/dσ′，有
式中：σ′为有效应力。
将式（4.41）代入式（4.40），得
根据有效应力原理σ′=σz-u和u=γwh，有
，代入式（4.42），得
或
式中：cv为土的固结系数，与土的压缩系数成反比，与渗透系数成正比，m2/年或cm2/年；其他符号意义同前。
式（4.43）即为饱和土的渗透固结微分方程，可根据不同的初始条件和边界条件求得它的特解。
如对图4.24所示的一维固结情况，初始条件和边界条件为
t=0和0≤z≤H时，u=u0=σz
0<t<∞和z=0时，u=0
0＜t＜∞和z=H时，
=0
t→∞和0≤z≤H时，u=0
采用分离变量法可求得满足上述条件的解如下：
式中：Tv为时间因数，与固结系数成正比；uzt为深度z处在时间t时刻的孔隙水压力；σz为深度z处的附加应力；m为正奇整数1，3，5，…；e为自然对数底数；H为固结土层的最长排水距离，当土层为单面排水时，H等于土层厚度，当土层为上下双面排水时，H为土层厚度的一半；t为固结时间。
3.地基固结度
地基中某点的固结度Uzt是指该点超孔隙水压力消散程度，如式（4.47a）所示，也可表示为地基中某点在任一时刻t的固结沉降量sct与最终固结沉降量sc之比，如式（4.47b）所示。
或
式中：u0、uzt分别为地基中某点初始孔隙水压力和t时刻的孔隙水压力；sct、sc分别为t时刻地基中某点的固结沉降和地基最终固结沉降。
应提及的是式（4.47a）为固结度的应力表达式，式（4.47b）为固结度的应变表达式，由于土体的非线性变形特征，两式的计算结果不一定相同。
对于实际工程来说，重点关注的不是某点的固结度Uzt而是地基的平均固结度Ut，即t时刻土骨架所承担的有效应力与总附加应力的比值，可表示成应力面积比，对于如图4.24所示的土层，有
式中符号意义同前。
式（4.48）表明，地基的固结度就是土体中孔隙水压力向有效应力转化的完成程度。
将式（4.45）求得的孔隙水压力代入式（4.48），经积分可求得地基固结度为
式中符号意义同前。
由于式（4.49）中级数收敛很快，故当Tv值较大时（如Tv≥0.16），可只取第一项（精确度可满足工程要求），此时上式被简化为
式（4.50）即为地基固结度基本表达式，表明固结度仅与时间因素Tv有关。当土性指标k、e、a和土层厚度H已知，土层排水条件和地基所受附加应力确定时， Ut仅是时间的函数，据此可绘出Ut-t关系曲线。
根据式（4.50），在压缩应力分布及排水条件相同的情况下，两个土质相同（即cv相同）而排水距离不同的土层，要达到相同的固结度，其时间因素Tv应相等，即
则
式（4.51）表明，对于同一土层情况，若将单面排水改为双面排水，达到相同固结度所需历时可减少到原来的1/4。
4.各种情况下地基固结度的求解
对于如图4.24所示的一维固结问题的单面排水地基，起始孔隙水压力分布可被归纳成下述3类（对于正常固结土，即为附加应力分布），如图4.25所示。
图4.25（a）所示分布适用于地基土在其自重作用下已固结完成，基底面积很大而压缩土层又较薄的情况。
图4.25（b）所示分布适用于土层在其自重作用下未固结，土的自重压力等于附加应力的情况。
图4.25（c）所示分布适用于地基土在其自重作用下已固结完成，基底面积较小，压缩土层较厚，外荷在压缩土层的底面引起的附加应力已接近于零的情况。
图4.25 3种简单分布的起始孔隙水压力图
图4.26 两种梯形分布的起始孔隙水压力图
将分布a分别和分布b、c叠加，即可获得如图4.26所示的梯形分布，分别对应欠固结土和正常固结土基底面积和压缩层都有限的情况，图中
代表土层顶、底面的起始孔隙水压力，对于正常固结土即为附加应力。
如图4.25和图4.26所示均为单面排水情况，若土层为双面排水，则均按图4.25中的分布a计算，但最大排水距离应取土层厚度的一半。
式（4.50）表明Ut随地基所受附加应力和排水条件不同而不同，为便于应用，可按式（4.50）将如图4.25和图4.26所示的各种起始孔隙水压力分布的地基固结度的解绘制成如图4.27所示的Ut-Tv关系曲线，称为一维渗透固结理论曲线。
图4.27 地基平均固结度Ut与时间因素Tv关系曲线
图4.27中曲线（1）用于计算图4.25中分布a和所有双面排水情况，曲线（2）用于计算图4.25中分布b情况，曲线（3）用于计算图4.25中分布c情况。
对于图4.26中梯形分布的情况，只能基于图4.27曲线采用叠加原理近似求解。设梯形分布附加应力（即起始孔隙水压力）在排水面和不排水面处分别为σ′z和σ″z，若σ′z<σ″z［图4.26（a）］，则根据固结度定义式（4.47b）和的沉降计算式（4.13），有
代入上式，有
式中Ut1和Ut2分别采用曲线（1）和曲线（2）求解。
同理，当
时 [图4.26 （b）]，可采用曲线 （1）和曲线 （3）求解，相应的叠加公式为
综上，求解地基在任意时刻的沉降量的步骤如下：
（1）根据土中应力计算方法计算地基附加应力沿深度分布。
（2）根据地基最终沉降计算方法计算地基最终固结沉降sc。
（3）根据土性指标计算土层竖向固结系数cv和竖向固结时间因素Tv。
（4）根据Tv和一维渗透固结理论曲线确定相应的地基平均固结度Ut。
（5）根据
计算地基固结过程中某一时刻t的沉降量sct。
【例4.3】 某饱和黏土层厚度H=10m，单面排水，在大面积荷载p作用下附加应力分布如图4.28所示。已知黏土层的初始孔隙比e1=1.1，压缩系数a1-2=0.3MPa-1，渗透系数k=5.5×10-7cm/s。试求：（1）土层最终沉降量sc；（2）加荷一年后土层的平均固结度Ut和相应的沉降量sct；（3）若将黏土层的下部设置为透水层，则达同一固结度所需历时t。
图4.28 ［例4.3］图
解：
（1）最终沉降量sc。
（2）加荷1年后土层的平均固结度Ut和沉降量sct。
附加应力分布符合如图4.26（b）所示图式，可采用式（4.53）求解地基平均固结度。由Tv=1.21查图4.27，得Ut1=0.93，Ut3=0.97
则
（3）将黏土层下部改为透水层时。此时地基为双面排水，同样达到Ut=0.94所需的历时t仅为单面排水时的1/4，即t=0.25年。