第八节　平行力系的中心与重心

由空间力系的简化原理可知,空间平行力系一般可简化成一个与各力同方位的主矢和一个与主矢相垂直的主矩矢,若进一步合成就可得一合力,设合力的作用点为C点,如图3-22所示。此时若将力系中各力绕各自作用点按同一方向转过同一角度α后再合成,则合力的作用点仍在C点,可见,空间平行力系合力的作用点不随力的方向而变,是确定的,我们把这个点称为平行力系的中心。

重力是地球对物体的引力,严格地讲这些引力构成汇交力系,汇交点为地球中心,但由于物体的尺寸相对地球来说实在太小,故物体重力组成的力系可近似地看成是平行力系,这时,该力系的中心可称为物体的重心。重心是一个非常重要的概念,它的位置与物体的平衡与运动以及稳定有着直接关系,因此,有必要了解重心的概念及其位置的确定方法。如果有了平行力系中心确定方法,则重心就可以用相同方法确定。

一、平行力系中心位置的确定

设有一空间平行力系F1,F2,…,Fn,其合力为FR,如图3-22所示,若各力作用点的坐标为(xi,yi,zi)(i=1,2,…,n),平行力系中心C点的坐标为(xC,yC,zC),则由合力矩定理有

由于平行力系中心与各力作用线的方位无关,因此可将上述力系中各力按相同转向转到与y轴平行的位置(即α=90°)并对x轴取矩,有

由此得

这就是平行力系中心C点的位置坐标。

二、重心位置的确定

若将物体分割成许多微小部分,则在重力场中,其每一部分都要受到重力ΔPi的作用。在图3-23所示坐标下,设其作用点为Mi(xi,yi,zi)(i=1,2,…,n)。

显然合力P的大小为设物体的重心坐标为C(xC,yC,zC),则由式(3-32)可直接得出

可见,物体分割得越细,即每小块体积越小,则按式(3-33)计算出的重心位置就越精确,在极限情况下可用积分计算,即

对于均质物体,设其密度为ρ,若分割成有限部分,第i块体积为ΔVi,整体体积为V,则由式(3-34)可得

式(3-35)表明,均质物体的重心位置完全取决于物体的几何形状。而与物体的重量无关,这时C点也往往称为形心。

在极限情况下,均质物体的重心坐标可由式(3-34)直接得出,即

对于均质等厚薄板,类似地可得重心公式

对于均质线段,类似地可得重心公式

【例3-9】　求图3-24所示三角形的重心。

解:取图3-24示坐标系Oxy,可用积分法求出重心的坐标(xC,yC)。若先确定重心C的y坐标yC,则可取微元dS=a1dy,a1为微元dS的宽度。根据式(3-37)得

由于微元的重心在其中点,所以各微元的重心都在中线AE上,质心也应在AE上,由图可见

由本例可以看出,规则形体的重心位置总可以较容易地用积分法确定,故简单物体的形心位置均可通过积分法求得。

前面是通过积分公式确定物体的重心坐标。如果物体很不规则,积分将会遇到困难。但有些物体由于有其特殊性,如对称性或可划分成几个规则形体等,则这时可经过特殊分析处理,使其重心位置的确定更加简单。

如对于对称物体,由于其具有对称轴、对称面或对称中心等,则其重心必在物体的对称轴、对称面或对称中心上,其具体位置进一步可由前述公式确定。

对于组合形体,尽管它们不很规则,但一般来说它们是由若干个简单形体组合而成的。若已知简单形体的重心,则整个组合形体的重心就可用式(3-35)直接求出。这时的体积、面积和长度可以有正负值。这比用积分法要简单得多。

【例3-10】　试求Z字形截面重心的位置,尺寸如图3-25所示。

解:取坐标轴如图所示,将Z字形截面分为三个部分,每部分都是矩形,若矩形的面积用Ai表示,(i=1,2,3),其质心坐标用(xi,yi)表示,则

将这些数据代入式(3-35),得到Z字形截面重心位置为

【例3-11】　已知振动器中的偏心块的几何尺寸,r1=10cm,r2=3cm,r3=1.7cm,求偏心块重心的位置(图3-26)。

解:本题仍是平面图形的重心问题,由于此图形具有对称轴,取坐标系如图所示,则显然有xC=0。yC可用组合法求出:将整个图形看成由三部分组成,即半径为r1的半圆,半径为r2的半圆以及半径为r3的小圆,圆与半圆均属简单图形,利用式(3-35)就可求出重心位置坐标。但是按这种分割方法,小圆实际上并不在图形上,如果用两半圆的面积代入公式中所确定的质心坐标将整整多出了小圆面积的影响,故计算中应把小圆去掉,即应减去小圆面积对重心的影响,这时,只要把小圆的面积用负值代入,便会得到本图形的重心坐标。

于是,整个物体重心坐标为