第七节　空间力系的平衡问题

求解空间力系的平衡问题,其步骤与求解平面力系一样,一般仍是先确定研究对象,进行受力分析并作出受力图,选取适当的坐标系,列出平衡方程并求解未知量。在一般情况下,空间力系有六个独立的平衡方程,它可求解六个未知量,在求解中,投影和取矩轴可视解决问题的方便适当选取,这样就可以使每一平衡方程中包含的未知数最少,计算得以简化。另外,有时为了方便,也可减少平衡方程中的投影方程,而将平衡方程表示为四力矩形式以至六力矩形式。但这时投影轴与力矩轴之间要有一定的限制,这里不再详述。

【例3-6】　图3-19(a)所示为一简易起吊装置,杆AB的A端为球形绞链支座,另一端B装有滑轮,并用系在墙上的绳子CB和DB拉住,若已知γ=30°,β=45°,P=10kN,DBC在水平面上且DE=CE=BE=a,求杆AB和绳子CB,BD的内力。

解:(1)以滑轮B为研究对象。

(2)受力分析:因杆AB不计自重,且只在两端受力,故AB为二力杆;作用在B上的力有:杆AB对滑轮的力FN,各绳子的拉力FT1,FT2,FT3和FT4,如图3-19(b)所示,由于不计滑轮尺寸,则可将B处的力视为汇交力系。若取B点为坐标原点,建立图示坐标系。则平衡方程为

将FT3=FT4=10kN,γ=30°,β=45°代入,解上面三个方程得

杆AB的内力与FN大小相等,方向相反,且为压力,绳子CB和BD的内力也分别与FT1和FT2互为作用与反作用力。

【例3-7】　图3-20所示三轮车自重P1=8kN,载荷P2=10kN,且P2作用在B,C两轮连线上,求地面对3个轮子的约束反力。图中长度单位为m。

解:(1)取三轮车为研究对象。

(2)受力分析:三轮车在静止时,只受重力P1,载荷P2和地面的约束反力FA,FB和FC作用。这些力构成一空间平行力系,若取坐标系Oxyz如图3-20所示,则利用空间平行力系平衡方程得

代入已知数据并联立求解得

空间任意力系有六个独立的平衡方程,可求解六个未知量,但其平衡方程不局限于式(3-30)所示的形式。为使解题简便,每个方程中最好只包含一个未知量。为此,选投影轴时应尽量与其余未知力垂直;选取矩的轴时应尽量与其余的未知力平行或相交。投影轴不必相互垂直,取矩的轴也不必与投影轴重合,力矩方程的数目可取3～6个。现举例如下。

【例3-8】　图3-21所示均质长方板由六根直杆支持于水平位置,直杆两端各用球铰链与板和地面连接。板重为P,在A处作用一水平力F,且F=2P。求各杆的内力。

解:取长方体刚板为研究对象,各支杆均为二力杆,设它们均受拉力。板的受力图如图3-21所示。列平衡方程

解得

解得

解得

此例中用六个力矩方程求得六个杆的内力。一般力矩方程比较灵活,常可使一个方程只含一个未知量。当然也可以采用其他形式的平衡方程求解。如用∑Fx=0代替式(b),同样求得F1=0;又,可用∑Fy=0代替式(e),同样求得读者还可以试用其他方程求解。但无论怎样列方程,独立平衡方程的数目只有六个。空间任意力系平衡方程的基本形式为式(3-30),即三个投影方程和三个力矩方程,它们是相互独立的。其他不同形式的平衡方程还有很多组,也只有六个独立方程,由于空间情况比较复杂,本书不再讨论其独立性条件,但只要各用一个方程逐个求出各未知数,这六个方程一定是独立的。