3.3 氧化镁混凝土微膨胀性应力补偿数学模型
氧化镁混凝土应用于工程，事前预判混凝土膨胀变形值及其变化规律，是非常必要而关键的。由于不可能将氧化镁混凝土试验做到无限长，实际工程建设也没有时间这样做，故需通过某种膨胀模型依靠实验室短期的数据来预测氧化镁混凝土的膨胀量历程。为此，国内众多研究者、机构等根据外掺氧化镁混凝土的特点，提出了一些氧化镁混凝土微膨胀性数学模型，用以定量分析氧化镁混凝土的膨胀量历程。
3.3.1 全量型计算模型
氧化镁混凝土自生体积变形表示为
式中：G（τ，T）为混凝土自生体积变形；M为氧化镁含量，kg/m3；k（M）为考虑室内外差别的修正系数；F（τ，T）为室内试件测得的自生体积变形。
k（M）的计算式为
式中：Md为坝体原级配混凝土氧化镁含量，kg/m3；Ms为试件混凝土（湿筛后）氧化镁含量，kg/m3；室内试件自生体积膨胀可表示为
上式收敛很快，实际上取一项即可得到相当满意的结果。
3.3.2 增量型计算模型
实际工程中，混凝土温度往往变化剧烈，温度的急剧变化引起自生体积变形速率的急剧变化，全量型计算模型难以反映变形速率的这种急剧变化，而增量型计算模型可以较好地处理这一问题。
自生体积变形增量ΔG（τ，T）可按下式计算：
dF/dτ有5种表达式：
（1）第1种表达式为
（2）第2种表达式为
（3）第3种表达式为
（4）第4种表达式为
（5）第5种表达式为
对于图3.3-1所示温度变化过程，用以上5式计算的变形速率dF/dτ算例（表3.3-1），可以看出：①5种表达式计算结果的规律性都是合理的；②早期5种表达式计算结果很接近，后期略有差异，考虑到问题十分复杂，这种差异还不算太大，适当地调整计算公式中的参数，可以使计算结果更接近；③只要适当选择计算参数，5种表达式都可采用，但总看来，第1、第2、第3种表达式似更为合理而简洁。
图3.3-1 温度变化过程图
表3.3-1 dF/dτ 算 例
3.3.3 膨胀余量模型
假定氧化镁能充分水化，即大体积混凝土中具有氧化镁充分水化所需的条件，氧化镁混凝土的膨胀速率与当时的温度及膨胀残量（未完成水化的氧化镁含量）成正比，即
式中：εg（τ）为龄期τ时的总膨胀量；εg0为最终膨胀量；T（t）为t时刻的温度值；τ为龄期；α和f［T（t），τ］分别为待定系数和待定的函数型式。
将式（3.3-2）对0～τ龄期积分可得某时刻的总膨胀量
式（3.3-2）、式（3.3-3）只有一项，有时精度不够，可取多项来表示，并用多项式拟合f［T（t），ξ］，这样，可将任意温度过程的膨胀模型取为
总膨胀量可以用递推公式计算为
根据试验成果可以拟合出式 （3.3 4）中的
、αi、βi等9个参数值，构造出氧化镁混凝土的膨胀模型。
3.3.4 动力学模型
氧化镁混凝土的膨胀本质上是氧化镁水化生成氢氧化镁的过程，遵循化学反应的一般规律，温度和浓度是主要影响因素，温度越高反应越快，相应膨胀增量也越大，同时膨胀速率与参与反应的氧化镁的含量（可以理解为液态化学反应中的浓度）成正比，符合Arrhenius方程。
τ时刻的膨胀速率dε（τ）/dτ可表示成该时刻的剩余膨胀量（浓度）和温度的函数为
式中：
反映温度对反应速率的影响；
为氧化镁膨胀余量，相当于化学反应方程中的浓度。
根据试验资料分析后假定β为温度T的函数，则式（3.3-5）可修正为
式（3.3-6）即氧化镁膨胀的动力学模型，属于增量模型，可用下式递推求解
式（3.3-5）还可以写成另一种形式，即温度对余量的影响可以用指数形式表示
式（3.3-6）、式（3.3-8）为氧化镁分子反应水化自由膨胀时的计算模型。实际混凝土中氧化镁分子团被包围于泥砂浆之间，不能自由膨胀，即氧化镁分子团的反应膨胀会受到周围硬化水泥砂浆的约束，约束的大小与硬化水泥砂浆的硬度有关，水泥砂浆的硬度低时约束小，硬度高时约束大。反映到宏观膨胀量上，氧化镁水反应膨胀越早，反映为混凝土宏观膨胀量越大，龄期越晚则反映到宏观膨胀量越小，因此在式（3.3-6）、式（3.3-8）中增加一个龄期影响项如下
式中，
反映了氧化镁膨胀反应的龄期影响。需要指出的是，后龄期的氧化镁膨胀虽然有一部分不能转化宏观膨胀量，但在Mg（OH）2结晶尺度上会产生压应力或在水泥砂浆中产生局部拉应力，当该局部拉压应力在一定范围内时可增加混凝土致密度，提高强度。当局部拉压应力足够大时会破坏硬化水泥砂浆甚至混凝土的局部结构，从而降低强度，因此混凝土中氧化镁总含量要予以控制。
用该模型实测数据（表3.3-2）拟合参数（表3.3-3、图3.3-2），可见该模型有较好的精度。
表3.3-2 不同养护温度时氧化镁的膨胀量表 单位：με
图3.3-2 动力学模型拟合的膨胀量与实测膨胀量对比图
表3.3-3 动力学模型参数
氧化镁混凝土膨胀大小及进程影响其补偿作用的发挥。氧化镁混凝土微膨胀性应力补偿数学模型是将材料试验成果与定量计算分析联系起来的桥梁，也是利用实验室短期试验成果预测其远期效应的手段。
氧化镁混凝土微膨胀性应力补偿数学模型经历了全量型、增量型、余量模型、动力学模型等发展过程，实践证明动力学模型符合化学反应的一般规律，能很好地吻合试验数据，可很好地模拟经历任意温度过程的氧化镁的膨胀量。
纵观到目前为止的氧化镁混凝土膨胀模型，均不能将膨胀机理定量地进行数学表达，不能全面考虑氧化镁品质及其掺量、粉煤灰品质及其掺量、水泥品种、水灰比及骨料等所有因素。因此，目前的模型实质上都是基于氧化镁混凝土具体试验成果的数学拟合，不能用理论对工程应用中出现的种种问题予以合理的解释，从实用角度或多或少地引入了一些假设，因此，氧化镁混凝土微膨胀性应力补偿数学模型仍需进一步完善。