2.3 滞后响应模型的其他形式
上一节给出了冲积河流河床演变滞后响应模型的三种计算模式，在这些模式的推导过程中，为了推导的方便主要针对的是一些较为理想或常见的情况，不免采用了一些简化。针对一些特定情况和问题，对上节建立的滞后响应模型进行必要的修改和调整，以扩展模型的灵活性和适用范围。本节对滞后响应模型结构形式的改进包括调整前期水沙条件影响权重的计算公式，考虑不同年份之间河道调整速率差异的计算公式，以及同时考虑汛期和非汛期水沙条件影响的计算公式。
2.3.1 调整初始条件影响权重的计算公式
从式（2.14）和式（2.15）可以看到，前期不同时段内的水沙条件对当前时段的状态值yn的影响权重不同，当系数β确定后，各时段权重的大小可由公式自动给出。式（2.14）中初始状态值y0的影响权重为e-nβΔt，而第i（i=1，2，…，n）个时段水沙条件的影响权重为（1-e-βΔt）e-（n-i）βΔt。由此可见，随着i的增大，前期第i（i=1，2，…，n）个时段内水沙条件的影响权重呈现依次增大的趋势，即越靠近当前时段的水沙条件对当前时段状态变量的影响越大，这种分布规律符合我们的物理常识，是合理的。而对于式（2.15），以ye0代替y0使得第1个时段之前的一个时段内（记为第0时段）的水沙条件也对当前的状态变量产生影响，影响权重为e-nβΔt。从影响当前状态变量的物理机理来看，第0时段水沙条件的影响权重应该小于之后的任何一个时段，由于第i时段的影响权重（1-e-βΔt）e-（n-i）βΔt随i的增大依次增大，因此只需第0时段的影响权重小于第1时段的影响权重即可：
根据上式，如果要求第0时段的影响权重小于第1时段的权重，则必须满足β>0.693。但根据以往经验（李凌云和吴保生，2011），具体计算过程中利用实测资料拟合的参数，有时会出现β≤0.693的情况。这意味着出现了第0时段的水沙条件影响权重比第1时段还要大的情况，这显然是不合理的。为解决这一由ye0代替y0带来的矛盾，按照第i（i=1，2，…，n）个时段内水沙条件影响权重的分布规律，将模型中第0时段ye0的权重调整为（1-e-βΔt）e-nβΔt。这样，式（2.15）可改写为如下形式：
上式即为调整了前期水沙或外部条件影响权重分布后的滞后响应模型。可以看出，式（2.17）不仅消除了模型对初始状态变量的依赖，同时也使得前期不同时段水沙条件的影响权重按照越靠近当前时段权重越大的规律分布，克服了式（2.15）中可能出现的第0时段影响权重不合理的现象。
2.3.2 考虑不同年份调整速度差异的计算公式
在滞后响应模型的理论探讨阶段曾指出，式（2.1）中的参数β是一个与其他众多因素有关的变量，在不同时段内其大小可能会有一定的区别，具体体现在不同时段内河道冲淤调整变化的速率不同。考虑到滞后响应模型推导的需要，且参数β本身直接计算比较困难，在式（2.1）～式（2.17）的推导中暂时取β为常数。虽然在实际应用中将其取为常数，往往也能够取得较为满意的结果，但这一简化对模型的可靠性和计算精度毕竟会带来一定的影响，为此接下来在式（2.8）的基础上，推导不同时段内参数β的取值不同时的计算公式。记第i（i=0，1，…，n）个时段对应的参数β为βi。经过第1个计算时段Δt后（各时段长相同），状态变量调整至y1，式（2.8）可改写为：
在第2个计算时段里，y1作为状态变量的初始值，该时段末的状态值可以表达为：
将式（2.18）代入式（2.19），整理可得：
依此类推，经过n个计算时段，yn可表示为如下形式：
由式（2.21）可以看出，第n个时段末的状态值yn同样为y0、ye1、…、yen的函数，与参数β取常数时的关系相同。进一步对式（2.21）的结构进行修改和调整，一是参考式（2.15）以ye0代替y0，以消除模型对初始状态值y0的依赖，二是参考式（2.17）调整ye0的影响权重，最终得到yn的表达式如下：
显然，当β0=β1=…=βn=β时，式（2.22）即简化为式（2.17）的形式。式（2.21）和式（2.22）即为考虑不同时段内参数β的取值差异时河床演变滞后响应模型的计算公式。
2.3.3 同时考虑汛期和非汛期水沙条件的计算公式
对于具有明显季节性变化的河流而言，水沙条件不仅存在周期性的年际变化，而且年内水沙条件也可能存在较大的差异。一般来说，汛期（flood season）来水来沙量相对较大，冲积河流的河道形态调整主要集中在汛期完成；非汛期（nonflood season）来水来沙量相对较小，对河道形态的影响也相对较弱，在一些情况下甚至可以忽略不计。吴保生（2008c）和Wu等（2012）将式（2.14）和式（2.15）用于建立黄河下游平滩面积和平滩流量与来水来沙条件的关系时，以汛期平均流量和汛期平均来沙系数来代表当年的水沙条件，取得了较好的效果。这一结果表明了汛期水沙条件对河道形态调整所起的主导作用，抓住了研究问题的主要矛盾。但非汛期水沙条件的影响毕竟存在，而水沙条件的年平均值掩盖了季节性河流汛期和非汛期来水来沙条件的差别。因此，在一般情况下，需要将年水沙条件分为汛期和非汛期，采用同时考虑汛期和非汛期水沙条件影响的河床演变滞后响应模型的计算公式。
下面的推导是在式（2.8）基础上进行的。为简化推导过程，暂不考虑不同年份间河道调整速度的差异，但非汛期和汛期的调整速度要加以区别。记汛期时间为Δtf，非汛期时间为Δtnf；汛期河床调整速率参数为βf，非汛期河床调整速率参数为βnf；汛期状态变量的平衡值为yfe，非汛期状态变量的平衡值为ynfe；以某个汛末为初始时刻，记初始时刻的状态值为y0。
经过第1个非汛期Δtnf后的状态值，也就是下一个汛期时段的汛前状态值，记为y0.5，根据式（2.8）可以得到：
经过第1个汛期Δtf后，汛后的状态值记为y1.0，若把y0.5作为初始值可得到：
经过第2个非汛期Δtnf后，汛前的状态值记为y1.5，若把y1.0作为初始值可进一步得到：
经过第2个汛期Δtf后，汛后的状态值记为y2.0，若把y1.5作为初始值可进一步得到：
依此类推，经过第n个非汛期Δtnf和汛期Δtf后，汛后的状态值记为yn，则其计算公式可以表示为：
同样为消除对初始状态值y0的依赖，可以用ye0近似代替y0。这里以初始时刻的前一个汛期内水沙条件所决定的平衡状态值yfe0近似代替y0，则式（2.27）可进一步改写为：
式（2.27）和式（2.28）即为同时考虑汛期和非汛期水沙条件下河床演变滞后响应模型的计算公式。
2.3.4 通用积分模式的离散计算公式
理论上讲，式（2.4）表示的滞后响应模型的通用模式（模式I），可以适用于各种复杂扰动情况下的河床演变过程模拟，但由于ye随时间t变化的函数关系在实际应用中较难确定，对式（2.4）的直接积分求解难以实现。因此，实际应用中可采用如下离散方法近似计算：
离散计算公式（2.29）与多步递推公式（2.14）均可以用于模拟梯级变化情况下的河床演变过程，但由于式（2.29）与式（2.14）的推导过程不同，具体表达形式也略有区别。如果把含初始项的多步递推模式（2.14）认为是滞后响应模型基本方程式（2.1）的理论解，则可通过与式（2.14）比较，估算离散计算公式（2.29）所产生的误差。为此，将式（2.29）与式（2.14）的左右两边分别相减可得：
式中，yⅠ离散和yⅢa 分别为采用式（2.29）和式（2.14）（模式Ⅲa）计算得到的特征变量的值。将式（2.30）中的e-βΔt进行如下泰勒展开：
将式（2.31）代入式（2.30）得：
式（2.32）即为采用离散方法求解通用积分模式时产生的绝对误差，其相对误差Δ%为：
即：
由式（2.32）和式（2.34）可知，离散方法求解积分模式产生的误差与特征变量的初始值y0和平衡值ye、系数β、递推时段数n以及时段长Δt有关。由于该误差与β的高次方成正比，当β较小时，可忽略不计；当β和时段长Δt为常数、yei＞0时，随着递推时段数n的增加，
将逐渐增大，误差也将增大。
需要说明的是，上述误差是由求解方法带来的，而不是通用积分模式自身的误差。通用积分模式是滞后响应模型的最基本模式，也是变率公式［式（2.1）］的理论解，由于其包含积分项，计算较为复杂，离散方法成为实际求解该模式时采用的一般方法，本小节的目的在于指出离散求解方法在计算中会产生一定的误差，并对该误差的特点进行说明，避免当采用通用积分模式I的离散计算公式，与多步递推模式Ⅲ计算公式的计算结果存在差别时，产生不必要的混淆与误解。