2.2 河床演变的滞后响应模型
2.2.1 基本模型
根据图2.1所示的滞后响应模式，假定河床的某一特征变量y在受到外部扰动后的调整变化速率dy/dt，与该变量的当前状态y和平衡状态ye之间的差值成正比（Graf，1977；Knighton，1998）。这种河床从扰动前的原有状态演变到新的平衡状态的过程，可以用以下一阶常微分方程来描述（吴保生，2008b；Wu等，2012）：
式中：y为特征变量；ye为特征变量的平衡值；t为时间；β为大于零的系数，量纲为1/T。
β越大表示河床特征变量的调整速率越快，因此，β也称为河道的调整速率参数。原则上，β是可以随时间变化的，但在实际应用中，为简便起见，β可取为常数。
式（2.1）常被称为变率方程或速率方程（rate law）（Knighton，1998），该方程在生物、物理、化学等方面得到了广泛的应用（Savageau，1969；Nielsen，1981；Shuttle等，2008），具有普遍的适用性。由于式（2.1）可用来描述图2.1所示河道特征变量滞后于外界扰动的调整过程，因此，也被称为滞后响应模型的基本模型，由该式可推导得到适用于不同情况的具体计算模式。
2.2.2 通用积分模式
为了便于求解，将式（2.1）改写为如下的一般形式：
假定外部控制条件可以概括为梯级状的变化过程，每个梯级时段对应一个确定的平衡状态。显然，式（2.2）表示的常微分方程是一阶非齐次线性方程，其通解为：
式中：C1为积分常数。
令t=0时y=y0，将该初始条件代入式（2.3），可得式（2.1）的通解如下：
对于外部控制条件不能概化为梯级过程，即外部控制条件及相应的平衡状态变量ye随时间连续变化的情况，如果仍然假定dy/dt与（ye-y）成正比，式（2.1）表示的基本模型仍然适用，可将式（2.1）改写为如下一般形式：
显然，式（2.5）表示的常微分方程也是一阶非齐次线性方程，其通解为：
式中：C2为积分常数。
令t=0时y=y0和ye=ye0，代入式（2.6），得到如下特解：
考虑到含有积分项，将式（2.4）和式（2.7）被称为通用积分模式（模式I），该模式既适用于图2.1所示只有一个时段的简单情况，又适用于图2.2所示外部扰动阶梯状变化的情况。对于后一种情况，在不能直接积分的情况下，可以采用离散形式对积分项进行求解。
2.2.3 单步解析模式
假设β和ye均为常数，则可对式（2.4）右边的积分项直接求解，由此得到式（2.1）的特解：
如果令dye/dt=常数，即：
将式（2.9）代入式（2.7）积分，得到式（2.1）在dye/dt=常数条件下的特解为：
式（2.8）和式（2.10）为模型的直接解析解，由于该式仅包含一个计算时段，因此称为单步解析模式（模式Ⅱ）。由于式（2.8）描述的是变量随时间的指数变化过程，也常被称为指数衰减方程（Graf，1977），该模式适用于图2.1所示只有一个时段的调整过程。显然，由式（2.8）可知，当t=0时，满足y=y0；当t→+∞时满足y→ye。式（2.10）适用于外部扰动及平衡状态变量ye随时间线性变化的情况，该式不仅在表达形式上较在给定时段内ye为常数的情况［式（2.8）］更复杂，而且ye的确定也要困难得多，因此，指数衰减方程式（2.8）在实际研究中更为常用。
2.2.4 多步递推模式
在来水来沙条件等外界扰动不断变化的情况下，由于河床冲淤变化的滞后性，在一个给定的有限时段内，河床形态不一定能够调整至与现有水沙条件相适应的平衡状态（图2.2）。对于这种情况，上述滞后响应模型也可以适用，因为滞后响应模型本身就是描述特征变量的调整变化路径，适用于调整变化过程中的任何时刻。需要说明的是，即使河床形态的调整结果达不到平衡状态，任何时段现有水沙条件对应的平衡状态ye也仍然存在，了解了这一点，就不难理解上述滞后响应模型的普遍适用性。
事实上，本时段河床调整的结果，无论是否已经达到平衡状态，都将作为下一个时段的初始条件y0对河床演变产生影响，并由此使得前期的水沙条件对后期的河床演变产生影响。按照这一思路，将上一时段的计算结果作为下一时段的初始条件，并逐时段递推，便可以得到经过多个时段后的状态值。
取等时间长度Δt，假设Δt足够短，并且在该时段内特征变量的平衡值ye和系数β均可假设为常数，根据式（2.8）可得第一个时段后特征变量的计算值y1为：
式中：Δt为时段长度；下标1表示第1个时段。
与式（2.11）相似，对于第2个时段同样有：
将式（2.11）代入式（2.12）得到：
如此递推至第n个时段，特征变量值yn可以表示为：
式中：n为递推时段数；i为时段编号。
式（2.14）是单步解析模式的扩展模式，称为多步递推模式。当取n=1即仅采用一个时段时，式（2.14）又可以退化为式（2.8）。式（2.14）中特征变量初始值的系数为e-nβΔt（<1），与递推时段数n成反比，说明河道的初始条件随着时间的延续对后续特征变量的影响逐渐减弱，因此，当初始时刻特征变量的平衡值ye0与其真实值y0相差较小时，可用ye0近似代替y0以消除模型计算对初始值的依赖，由此可得：
由于包含有多个时段，式（2.14）和式（2.15）被称为多步递推模式（模式Ⅲ），其中，式（2.14）为含有初始条件的多步递推模式，而式（2.15）为不含初始条件的多步递推模式。当已知特征变量的初始值时，可以根据前期n个时段的水沙条件等外部控制条件，用式（2.14）来推求河床经过n个时段调整后的状态值。当特征变量的初始值未知时，可以根据前期n+1个时段的水沙条件，用式（2.15）来计算河床在第n个时段末的状态值。式（2.14）和式（2.15）表示的多步递推模式表明，当前时段的河床演变不仅是当前时段水沙条件的函数，而且还受前期若干时段内水沙条件的影响，反映了河床演变的前期影响或累积影响的物理实质。
具体计算中，当取Δt=1年，采用式（2.14）计算第n年的特征变量值时，需要用到第1年至第n年的数据（其中第n年为当前计算年），以n=5、计算1990年的特征变量为例，需要采用1990年（第n=5年）及前期4年（i=1，2，…，4）的数据计算yei。以此类推，当计算1991年特征变量的值时，则需要用到1991年当年和前期4年的数据。同理，若取n=9，则需要用当年及前期8年（i=1，2，…，8）的数据来计算当前年的特征变量值。对于式（2.15）则需要采用第0年（定义第1个计算年对应的初始条件为第0年）至第n年的数据进行计算，因为第0年的值y0是未知的，需要采用第0年的水沙条件计算ye0来代替y0的实际值。
以上针对河床由非平衡状态向平衡状态调整的过程描述，以河床演变的自动调整原理为原则，以冲积河流普遍存在的滞后响应现象为主线，基于变率方程建立了河流非平衡态演变过程的模拟方法，称为冲积河流河床演变的滞后响应模型。该模型包括三种不同的计算模式，分别为通用积分模式（模式I）、单步解析模式（模式Ⅱ）和多步递推模式（模式Ⅲ）。模型通过多步递推模式的分析阐明了水沙条件等外部扰动对河床演变累积影响（前期影响）的物理本质，克服了采用滑动平均、加权平均或几何平均来反映前期影响的经验性和任意性，可用于模拟不同条件下长时间尺度的河流非平衡态调整过程。
需要特别指出，虽然平衡状态或稳定状态在滞后响应模型中只是模拟过程中的一个阶段性目标或短暂状态，但对河流非平衡态演变过程的准确模拟十分重要，因为平衡状态控制了河床特征变量调整的目标和方向。因此，滞后响应模型的成功应用，既有赖于对河床滞后响应现象本质的认识，也有赖于对河流平衡态的合理描述。有鉴于此，滞后响应模型可以看作是河流自动调整原理的一种数学描述方式，既体现了非平衡态河床向平衡状态发展的基本原则，又给出了非平衡态河床调整的具体过程和方式，丰富和发展了河床演变学的理论和方法。