2.4 滞后响应模型的应用步骤与讨论
2.4.1 不同计算模式的适用条件
基于变率方程的滞后响应模型，包括通用积分、单步解析和多步递推三种计算模式，适用于不同条件下的河流非平衡态演变过程的模拟计算，表2.1总结了滞后响应模型不同计算模式的适用条件与特点。一般来讲，通用积分模式Ⅰ既适用于只有一个时段的简单情况，又适用于外部扰动阶梯状变化的情况。单步解析模式Ⅱ适用于只有一个时段，且在外部扰动突然发生后扰动维持不变的简单情况。对于外部扰动阶梯状变化的情况，如果每一个时段的初始值都是已知值，则也可以用模式Ⅱ来计算每个时段末的状态值，尽管如此，这种应用
表2.1 滞后响应模型不同计算模式的适用条件与特点
仍然不能避免其仅能进行单步预报的弱点。多步递推模式Ⅲ适合于外部扰动阶梯状变化或复杂变化的情况，其中，模式Ⅲa适用于模拟初始值y0已知的情况，模式Ⅲb适用于模拟初始值y0未知的情况。
图2.3给出了在外部扰动阶梯状变化情况下，单步解析模式Ⅱ和多步递推模式Ⅲ的递推关系示意图。两者的区别在于，模式Ⅱ每个时段的计算只依赖当前时段的初始值，与其他前期时段无关。模式Ⅲ每个时段的计算都与前期若干时段的水沙条件有关，模式Ⅲa只需知道第1时段的初始值，利用第1～n个时段的水沙等条件计算第n个时段末特征变量的值yn；而模式Ⅲb则不依赖任何初始条件，利用第0～n个时段的水沙等条件计算yn。对于图2.3所示的时间序列，如果把第n个时段看作是当前时段，则yn便是前期n个时段累积作用后的状态值，这种递推关系显示了前期水沙过程对当前河床的累积影响，反映了河床演变滞后响应（前期影响）的物理本质。
图2.3 滞后响应模式Ⅱ和Ⅲ的递推关系示意图
2.4.2 模型应用的步骤
滞后响应模型的不同模式可以模拟不同条件下冲积河流不同特征变量的调整变化过程，其具体计算过程可以概括为如下三个主要步骤，包括准备工作、建立模型参数ye和β的计算方法、模型中各系数的优化与率定，如图2.4所示（郑珊，2013）。各步骤的具体内容如下：
（1）准备工作，包括确定需要模拟的河床演变特征变量，如河道的平滩流量、河床高程、河道的冲刷与淤积量等；确定计算时段，并将计算时段分为多个连续的时间步长Δt，对几十年或上百年的河床演变特征变量的模拟，计算时间步长一般可取一个运用年或运用年的汛期和非汛期。
（2）建立河床演变特征变量的计算方法，包括选取滞后响应模型的计算模式和建立特征变量平衡值ye的计算方法，此外，若考虑系数β随外界扰动而变化，还需确定β的计算方法。将特征变量平衡值ye的计算方法和系数β的计算方法代入滞后响应模型的计算模式中，即可得到特征变量的计算方法。特征变量平衡值ye的计算方法和系数β的计算方法是滞后响应模型应用的关键，将会在下一小节中专门进行介绍。
（3）模型中各系数的优化与率定。在步骤（2）中建立河道特征变量的平衡值ye和系数β的计算方法时，常常需要引入一个或多个未知的经验系数，因此，还需确定这些经验系数的值，这一过程可通过多元非线性回归来实现。首先，根据各参数的物理意义，确定其大致的取值范围，在该范围内假定各系数的值，将其代入特征变量的计算方法中进行计算，得到计算值yc，计算特征变量的实测值ym与计算值yc之间的决定系数R2和相对误差MNE：
图2.4 滞后响应模型的应用步骤
式中：ym，i和yc，i分别为第i个时段特征变量的实测值和计算值；
分别为特征变量在整个计算时段内 （包括N个时间步长）实测值和计算值的平均值；R2也称为模型计算值与实测值之间的确定性系数，取值范围为 [0，1]，其值越接近1说明特征变量计算值与实测值越接近，计算精度越高；MNE为模型计算值与实测值之间的平均相对误差，取值范围为 [0，+∞]，其值越接近0说明特征变量计算值与实测值越接近，计算精度越高。
需要说明的是，当特征变量的数值本身较小时，相对误差MNE会较大，因此，常选取决定系数R2，同时画出计算值与实测值的对比图，以分析和评价采用不同系数时模型的计算精度和效果。
若决定系数R2较低或相对误差MNE较大，则说明公式中计算系数的假设值不合理，需重设经验系数的值，重新进行计算，直到特征变量的计算值与实测之间的决定系数R2达到最大或相对误差MNE达到最小为止，这时的参数值即为计算公式中经验系数的最优值。计算参数的试算和优化过程，如图2.4中虚线框所示，这一过程可借助现有的商业数据分析软件（如SPSS、1stOption等）实现，但对参数取值的合理性要根据以往经验及其物理意义进行必要的分析对比。
对于滞后响应模型的多步递推模式Ⅲ的应用，步骤（3）中还涉及到时段n的取值问题。以多步递推模式Ⅲb即式（2.15）为例，由于采用ye0近似代替y0消除了模型对初始值的依赖，模型可根据包括当前时段在内的前期n+1个时段的水沙及外部扰动条件，来计算河床第n个时段末的状态值yn，体现了当前时段河床演变对前期水沙条件的依赖。实际计算中，并不是包含的时段数越多越好，因为距离当前较远的过去时段的水沙条件，对当前时段河床演变的影响已经消失殆尽，包含更多与当前时段河床演变无关或关系不大的信息，反而可能会干扰模型的计算精度（吴保生，2008c）。为了确定合适的n值大小，需要对n的不同取值进行试算，然后通过比较选定最优的n值（n小于总时段数N）。具体做法是，首先取n=0，按照图2.4所示步骤，对所有时段末特征变量的值进行计算，得到一组模型系数和特征变量的计算值；然后，逐步增大n的取值，从第n个时段开始往后计算至第N个时段，重复上述步骤，得到对应的模型系数和特征变量的计算值；比较n取不同值时模型计算值与实测值的相关关系，当模型计算精度随着n的增大上升到某一值时，即使n仍然增大，模型的计算精度也不再明显提高，或者反而有所减小，则这一数值对应的时段n即为最佳的包含前期水沙条件影响的时段数，特征变量受到前期n+1个时段（第0～n时段）中来水来沙条件的影响，对应的模型计算方程即为适用于该特征变量的滞后响应模型。
2.4.3 模型参数的确定
应用滞后响应模型不同计算模式的关键，是如何针对具体问题给出平衡值ye和变化速率参数β的计算表达式。对于单个时段的简单情况，只需根据具体问题或实测资料给出平衡状态的具体值；而对于外部扰动为梯级状或连续变化过程的复杂情况，则需要结合河床演变学的基本理论，在充分考虑河道平衡态的影响因素、调整模式和演变机理的基础上，给出平衡状态ye的具体计算表达式。
（1）状态变量平衡值ye的计算方法
对于不同的河床演变特征变量，由于其影响因素与演变特征不同，相应平衡值的计算方法也有所不同。下面以平滩流量作为河床演变的典型特征变量，简要介绍其平衡值的计算方法。
平滩流量是衡量河道排洪输沙能力大小的关键指标，其平衡值Qe是指当作用于冲积河流的来水来沙条件维持足够长时间不变，塑造出的达到冲淤平衡状态的河道形态所对应的平滩流量。由于冲积河流的河道形态由来水来沙条件决定，因此对于特定的水沙条件，都存在一个与之对应的平滩流量平衡值Qe。但实际河流系统的水沙条件总是处于频繁变化之中，河道形态的调整难以在短时间内达到平衡状态，因此平滩流量平衡值只是平滩流量调整的一个理想目标，实际河道形态调整过程中很难达到，也无法现场观测到Qe的值。
根据河床演变学的基本知识及上述对Qe物理意义的理解可以看出，Qe是由水沙条件决定的，可以表达为水沙条件参数的函数形式。吴保生（2008a）将滞后响应模型应用于计算黄河下游平滩流量时，考虑到黄河下游河道形态的调整主要集中在流量较大的汛期，选择汛期平均流量和汛期平均来沙系数分别代表汛期来水条件和汛期来沙条件，将Qe表达为如下形式：
其中 ξf=Sf/Qf
式中：Qf为汛期平均流量，m3/s；ξf为汛期平均来沙系数，kg·s/m6；Sf为汛期平均悬移质含沙量，kg/m3；K、a、b分别为系数和指数。
式（2.37）给出了计算Qe的一种方法，将平滩流量平衡值用汛期平均流量和汛期平均来沙系数表示。其中，汛期平均流量反映了来水量的作用大小，而来沙系数代表水沙搭配情况、单位水流功率含沙量等多方面重要的物理意义（吴保生和申冠卿，2008），是体现河流来沙情况的综合参数。因此当采用式（2.37）计算黄河下游平滩流量的平衡值时取得了较好的计算效果（Wu等，2008a，2012）。
实际上，式（2.37）体现了汛期平均水沙条件对河槽形态的塑造作用，这也是一般河床演变研究中最常用的方法。但平均水沙条件并不能完全代表来水来沙的特性，如大部分情况下，来水过程也是不可忽视的因素之一。此外，冲积河流的自动调整功能不仅体现在调整河道形态以适应上游来水来沙条件的变化，同时也会对河道边界条件的明显改变做出响应，如渭河下游平滩流量对潼关高程的明显抬升会做出较为迅速的响应（吴保生，2008c）。因此在模型的实际应用中，Qe的计算方法需要根据当地河流的具体情况，综合分析各种影响因素，选取合适的变量来确定。本书第3章～第7章对滞后响应模型进行应用研究时，针对不同物理量的变化特征和研究河段的具体情况，给出了不同河床演变特征变量（如潼关高程、河道累计淤积量、河床高程）平衡值的计算方法。
（2）河道调整速率参数β的计算方法
式（2.21）、式（2.22）及式（2.28）给出了考虑不同时段内参数β的取值差异时的模型方程。β值的大小反映河道调整的速度，而河道的调整速度大小又与水流的能量和动量大小及河床边界的可动性等条件密切相关。来水量是影响河流调整的最主要的因素之一，来水量越大，水流对河流的塑造作用和能力就越强，河道的调整也就越快；此外，水流中含沙量与挟沙力越接近，河流形态的调整越小，因此，参数β也应与来水来沙等条件有关。
在实际应用中，如果河道冲淤调整比较剧烈，或者不同年份之间调整速率差异明显，可以考虑不同年份采用不同的β值，以更加真实地反映实际情况，提高模型的计算精度。然而，在滞后响应模型中引入参数β的计算方法会使模型的计算变得更为复杂，为计算方便，本书在对滞后响应模型进行应用研究时，将参数β取为常数，这在一般情况下是可行的。