第3章　力学量用算符表达

3.1　复习笔记

一、算符的运算规则

1．线性算符

凡满足下列运算规则的算符Â，称为线性算符，

其中ψ₁与Ψ₂也是任意两个波函数c₁与c₂是两个任意常数（一般为复数）．

2．算符之和

算符Â与之和．记为Â＋，定义如下：对于任意波函数ψ，有

两个线性算符之和仍为线性算符．

3．算符之积

算符Â与之积，记为Â，定义为

一般说来，算符之积不满足交换律，即这是算符与通常数的运算规则的唯一不同之处．

4．量子力学的基本对易式

（1）对易式

定义对易式（commutator）

对空间坐标算符和动量算符有下面的基本对易式

（2）常用对易运算关系式

对易式满足下列代数恒等式：

（Jacobi恒等式）

（3）角动量的对易式

角动最算符定义为

各分量表为

①角动量算符与空间坐标算符的对易关系

式中称为Levi—Civita符号，是一个三阶反对称张量，定义如下：

②角动量算符与动量算符之间的对易关系

③角动量算符之间的对易关系

分开写出，即

5．逆算符

设

能够唯一地解出ψ，则可以定义算符Â之逆Â^－1为

6．算符的函数与标积

（1）算符函数

给定一函数F（x），其各阶导数均存在，幂级数展开收敛，

则可定义算符Â的函数F（Â）为

（2）算符的标积

定义一个量子体系的任意两个波函数（态）ψ与的“标积”

以下为常用算符标积运算公式：

式中c₁与c₂为任意常数．

7．转置算符

算符Â的转置算符A定义为

式中ψ与φ是任意两个波函数．

8．复共轭算符与厄米共轭算符

算符Â的复共轭算符Â*．定义为

算符Â之厄米共轭算符A定义为

9．厄米算符

（1）厄米算符定义

满足下列关系的算符

称为厄米算符，也称为自共轭算符．两个厄米算符之和仍为厄米算符，但它们的积，一般不是厄米算符，除非（可对易）．

（2）厄米算符相关定理

定理 体系的任何状态下，其厄米算符的平均值必为实数．

逆定理 在任何状态下平均值均为实的算符必为厄米算符．

实验上可观测量相应的算符必须是厄米算符．

推论  设Â为厄米算符，则在任意态ψ之下，

2．算符的本征值和本征函数

这就是任意两个力学量A与B在任意量子态下的不确定度（涨落）必须满足的关系式，即不确定度关系（uncertainty relation）．

特例  对于利用（h是一个普适常数，不为0），则有

l²和l_z的本征值者都是量子化的．l称为轨道角动量量子数．m称为磁量子数．

3．对易力学量完全集（CSCO）与对易守恒量完全集（CSCCO）

（1）对易力学量完全集

设有一组彼此独立而且互相对易的厄米算符，它们的共同本征态记为也，表示一组完备的量子．设给定一组量子数a之后，就能够确定体系的唯一一个可能状态，则我们称构成体系的一组对易可观测量完全集（complete set of commuting observables．简记为CSCO）．

（2）对易守恒量完全集

如对易力学照完全集中包含有体系的Hamilton量，则完全集中各力学量都是守恒量，这种完全集又称为对易守恒量完全集（a complete set of commuting conserved observables，简记为CSCCO）．

4．关于本征态的完备性的一个定理

定理：设为体系的一个厄米算符，对于体系的任一态有下界（即总是大于某一个固定的数C），但无上界，则的本征态的集合，构成体系的态空间中的一个完备集，即体系的任何一个量子态都可以用这一组本征态完全集来展开．

5．量子力学中力学量用厄米算符表达

量子体系的可观测量（力学量）用一个线性厄米算符来描述，也是量子力学的一个基本假定，它们的正确性应该由实验来判定．

该假设的含义如下：

（1）在给定状态ψ之下，力学量A的平均值由下式确定

四、连续谱本征函数的“归一化”

1．连续谱本征函数是不能归一化的

不难看出，只要C≠0

即ψ_P是不能归一化的．

2．δ函数

δ函数定义为

式中

而δ函数可如下构成

上式式表明相空间一个体积元h³相当于有一个量子态．