1.3.2　数列极限的定义

观察1.3.1节的例子（1）～（5），不难发现，当n无限增大（记作n→∞）时，数列（1）的通项无限趋于0；数列（2）的通项无限趋于1；数列（3）的通项无限增大，其变化趋势不是一个确定的数；数列（4）当n按奇数无限增大时，通项始终为1，当n按偶数无限增大时，通项始终为-1，因此当n无限增大时，通项没有确定的变化趋势；数列（5）的通项无限趋于0.

若数列{an}的通项an当n无限增大时无限趋于一个确定的常数a，则称数列{an}收敛于a；否则称数列{an}发散.

数列（1）、（2）、（5）是收敛数列，数列（3）、（4）是发散数列.这是凭观察或几何直觉得出的，是不精确的.为此，需要对数列极限的概念作更准确的说明.

为了引入数列极限的严格数学定义，考察数列

当n无限增大时，通项an无限趋于1，这在数轴上表现为动点an与定点1的距离（即an与1之差的绝对值）

可以任意小，这时称数列{an}的极限为1.

问题：“无限接近”意味着什么？如何用数学语言刻画它？

给定，欲使，只要当n>100时，就有，即从第101项起以后各项都能使an与1的距离小于；

给定，欲使，只要当n>1000时，就有，即从第1001项起以后各项都能使an与1的距离小于；

给定，欲使，只要当n>10000时，就有，即从第10001项起以后各项都能使an与1的距离小于

一般地，给定任意小的正数ε，欲使<ε，只要当n>时，就有|an-1|<ε，即从第+1项起以后各项都能使an与1的距离小于ε.由此得出数列极限的精确定义.

定义2　设数列{an}，如果存在常数a，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正整数N，使得对于n>N时的一切an，不等式

|an-a|<ε

都成立，则称常数a为数列{an}的极限，或者称数列{an}收敛于a，记为

如果当n无限增大时，an不能无限趋于某个确定的常数，则称当n→∞时数列{an}发散或极限不存在.

注　（1）|an-a|<ε刻画了an与a的无限接近程度，小正数ε是任意给定的（既是任意的，又是给定的），ε用来刻画an与a的接近程度，ε越小，an越接近a.

（2）|an-a|<ε成立的条件是n>N，正整数N与ε有关，是随ε的给定而确定的，用来刻画n无限增大的程度，一般地，当ε减少时，N将会相应地增大.

（3）N的选取是不唯一的，任意一个比N大的正整数都可以作为定义2中的N.

（4）数列{an}的极限为a的几何意义：数列{an}可看作数轴上的一个点列，a看作数轴上的一个定点，不等式

|an-a|<ε⇔a-ε<an<a+ε；

不论区间（a-ε，a+ε）有多小，总存在正整数N，从第N+1个动点开始，所有动点an都落入区间（a-ε，a+ε）中，而只有有限个（至多只有N个）动点落在区间外，如图1-3所示.

例1　考察下面数列当n→∞时的变化趋势，写出它们的极限：

解　（1）数列的通项an=2，是一个常数数列，当n→∞时，an始终为2，因此

（2）数列的通项，当n→∞时，an无限接近于0，因此

（3）数列的通项，当n→∞时，an无限接近于0，因此

（4）数列的通项，当n→∞时，an无限增大，没有确定的变化趋势，因此不存在.常把这种情况记为，它是极限不存在的一种特殊情况；

（5）数列的通项，当n→∞时，无限接近于0，故无限接近于2，因此

例2　已知，证明数列{an}的极限是1.

证　由于　　

对于任意给定的ε>0，要使

成立，只要n> 即可，所以可取N= +1.

对于任意给定的ε>0，存在正整数，当n>N时，恒有|an-1|<ε成立，故数列{an}的极限是1.

注　（1）应用数列极限定义只能验证某个数是否是一个数列的极限，并不能从无到有地求出极限.

（2）在用极限定义证明极限时，只需指出N存在即可，并不需要找出最小的N，如例2中，还可以取等.