1.3.3　收敛数列的基本性质

性质1（唯一性）　收敛数列的极限是唯一的.

证　假设数列{an}有两个极限a，b，且a≠b.

由数列极限的定义，对于任意给定的ε>0，存在正整数N1，N2，使得当n>N1时，恒有|an-a|<ε；当n>N2时，恒有|an-b|<ε，取N=max{N1，N2}，则当n>N时，恒有

|a-b|=|（an-b）-（an-a）|≤|an-b|+|an-a|<ε+ε=2ε，

由于ε的任意性，上式当且仅当a=b时才成立，故收敛数列的极限是唯一的.

下面先介绍数列的有界性定义，然后给出收敛数列的有界性.

定义3　对数列{an}，若存在正数M，使得对于一切正整数n，恒有|an|≤M成立，则称数列{an}有界，否则称为无界.

性质2（有界性）　收敛数列必为有界数列.

证　设数列{an}收敛于a，即，由数列极限定义，对于ε=1，存在正整数N，使得当n>N时，恒有|an-a|<1成立.

于是，当n>N时，

|an|=|（an-a）+a|≤|an-a|+|a|<1+|a|.

取M=max{|a1|，|a2|，…，|aN|，1+|a|}，则对一切正整数n，皆有|an|≤M，故数列{an}有界.

注　有界性是数列收敛的必要条件.例如，数列{（-1）n}有界，但却发散.

推论1　无界数列必定发散.

性质3（保号性）　若，且a>0（或a<0），则必存在正整数N，当n>N时，恒有an>0（或an<0）.

证　就a>0的情形证明.

由数列极限定义，对于，存在正整数N，当n>N时，恒有从而

a<0的情形可类似证明.

推论2　若数列{an}从某项起有an≥0（或an≤0），且=a，则a≥0（或a≤0）.

证　应用反证法证明.

设数列{an}从第N1+1项起，即当n>N1时有an≥0.若=a<0，则由性质3知，存在正整数N2，当n>N2时，恒有an<0.取N=max{N1，N2}，当n>N时，按假定有an≥0，按性质3有an<0，这产生矛盾，所以必有a≥0.

数列{an}从某项起an≤0的情形可类似地证明.

最后，介绍子列的概念以及关于收敛数列与其子列间关系的一个性质.

定义4　将数列{an}各项在保持原有顺序的情况下，任取其中无穷多项所构成的新数列称为数列{an}的子数列，简称子列.例如，

a1，a3，a5，…，a2n-1，…；

a2，a4，a6，…，a2n，…

均为数列{an}的子列.

性质4（收敛数列与其子列间的关系）　如果数列{an}收敛于a，那么它的任一子列也收敛，且极限也是a.

推论3　若数列{an}有两个子列收敛到不同的极限，则数列{an}是发散的.

例3　考察数列{（-1）n}的敛散性.

解　数列{（-1）n}的子列{（-1）2n-1}收敛于-1，而子列{（-1）2n}收敛于1，由推论3知，数列{（-1）n}是发散的.