§1.3　数列的极限

1.3.1　概念的引入

极限的概念是由求某些实际问题的精确解答而产生的.例如，我国魏晋时期杰出的数学家刘徽提出了利用圆的内接正多边形的面积来推算圆的面积的方法——割圆术.做法如下：

设圆的半径为1，先作圆的内接正六边形，把它的面积记为A1；再作内接正十二边形，其面积记为A2；再作内接正二十四边形，其面积记为A3；依此类推，每次边数加倍，这样得到一系列圆的内接正多边形的面积

A1，A2，A3，…，An，….

它们构成一列有次序的数，随着n的增大，内接正多边形的面积与圆的面积差别越来越小，从而以An作为圆的面积的近似值的误差越来越小，但无论n多大，只要n取定，An终究是正多边形的面积，而不是圆的面积.因此，设想让n无限增大，即内接正多边形的边数无限增加，在这个过程中，内接正多边形无限接近于圆，同时圆内接正多边形的面积A1，A2，A3，…，An，…将无限接近于某一个确定的数值，即圆的面积.正如刘徽所说“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”.这个“无限接近”的过程充分体现了极限理论的思想.

定义1　按正整数顺序1，2，3，…排列的无穷多个数，称为数列.数列通常记作

a1，a2，…，an，…；

或简记作{an}.数列的每个数称为数列的项，第n项an称为数列的通项或一般项.

例如，

都是数列.它们的通项依次为

注　（1）在几何上，数列对应着数轴上的一个点列，可看作一动点在数轴上依次取a1，a2，…，an，…，如图1-2所示.

图1-2

（2）从函数的观点来看，数列可以看作以正整数集Z+为定义域的函数an=f（n），当自变量n按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值就排列成数列{an}，而数列的通项公式就是相应函数的解析式.

对于数列{an}，主要研究当n无限增大时，通项an的变化趋势.