2.3　控制器的动态特性

自动控制系统是由自动控制器（控制器）和被控对象构成的一个闭环系统。控制器输入来自于给定值和被控变量反馈而产生的偏差信号，并且按照一定的控制规律运算后输出信号对被控对象进行控制。控制器的动态特性就是控制器的输入偏差信号与输出信号之间的因果关系。

2.3.1　控制器的基本控制规律

控制器是自动控制系统的心脏。它的作用是将测量变送信号与给定值相比较产生的偏差信号，按一定的运算规律产生输出信号，推动执行器，实现对生产过程的自动控制。控制规律是指控制器的输出信号随输入信号变化的规律。

尽管控制器的种类很多，其工作原理和结构形式也不相同，但其基本的控制（也称调节）规律可归为四种：位式、比例、积分、微分。其中，除位式是断续控制外，其他三种均是连续控制规律。

不同的控制规律适应不同的生产要求，在了解常见基本控制规律的特点及适用条件的基础上，根据过渡过程的品质指标要求，结合被控对象的特性，才能正确地选用适当的控制规律。

（1）位式控制规律

双位控制是位式控制规律中最简单的形式。理想的双位控制规律的数学表达式为

　　 （2-66）

相应控制器的输出特性曲线见图2-20。双位控制规律是一种典型的非线性控制规律，当测量值大于或小于给定值时，控制器的输出达到最大或最小两个极限位置。与控制器相连的执行器相应也只有“开”和“关”两个极限工作状态。

图2-21所示为双位炉温自动控制系统。其中，加热炉1为被控对象，炉温是被控变量；热电偶2是检测元件；3为双位控制器；继电器4为执行机构；电热器5是将电能转化为热能的加热装置。温度的给定值由人工调整双位控制器上的给定值指针设置，炉温由热电偶测量并送至双位控制器。双位控制器根据温度测量值与给定值的偏差大小发出使继电器通、断电的控制信号，从而控制加热炉内部的温度。

理想的情况是：当被控变量的测量值低于给定值时，控制器输出的极限状态使继电器闭合给电热器供电，被控温度上升；而当测量值一旦高于给定值时，控制器立刻输出另一极限状态使继电器断开而停止给电热器供电，被控温度下降，如此反复进行，使温度维持在给定值附近很小的范围内波动。

位式控制结构简单，成本较低，使用方便，对配用的控制阀无任何特殊的要求，一般带有上下限发信装置的检测仪表，如压力表、水银温度计、双金属片温度计、电子电位差计、自动平衡电桥等都可以方便地实现位式控制。其主要缺点是被控变量总在波动，控制质量不高。当被控对象纯滞后较大时，被控变量波动幅度较大。因此，在控制要求稍高的场合，不宜使用。

在图2-21所示的理想双位控制系统中，控制机构（继电器）的启停过于频繁，系统中的运动部件（继电器触头）容易损坏，这样就很难保证控制系统安全可靠地运行。因此，实际应用的双位控制器都有一个中间区域。具有中间区的双位控制规律如图2-22所示。从图中可以看出，只有当偏差达到一定数值（emin或emax）时，控制器的输出才会变化，而在中间区内控制器的输出将取决于它原来所处的状态。中间区的出现还有另外两个原因：一是执行机构都有不灵敏区，这时理想双位控制实际上是具有中间区的双位控制；二是采用双位控制的系统本身的要求就不高，只要求被控变量在两个极限值之间，这就是可用中间区的双位控制方案。采用具有中间区双位控制器的控制系统的过渡过程曲线如图2-23所示。

从图2-23中可以看出，该过程是一种断续作用下的等幅振荡过程。对于双位控制的质量不能用连续控制作用下的衰减振荡过程的性能指标来衡量，而是用振幅和周期作为其品质指标。在图2-23中，振幅为θ上-θs，周期为T。显然，振幅小、周期长，控制品质就高。然而，对同一个双位控制系统来说，若要振幅小，其周期必然短；若要周期长，则振幅必然大。只有通过合理地选择中间区，才能使振幅在限制的范围之内，同时又可以尽可能地获得较长的周期。此外，振幅的大小还与对象的滞后时间τ有关，τ越大则振幅也越大。

在位式控制中，除了双位控制外，还有三位或更多位的控制。

（2）比例控制规律（P）

①比例放大倍数（K）　在比例控制中，控制器的输出信号u（t）与输入信号e（t）成比例关系

u（t）=KP e（t）　　 （2-67）

控制器传递函数为

Gc（s）=KP　　 （2-68）

式中，KP称为比例增益或比例放大倍数，在控制器中是可以改变的。在阶跃输入作用下，比例控制规律的输出特性如图2-24所示。

图2-25是一个简单的比例控制系统的例子。被控变量是水箱液位，O为杠杆的支点，杠杆的一端固定着浮球，另一端与控制阀的执行机构相连。通过浮球和杠杆的作用，调整阀门开度使液位保持在适当的高度上。当进水量大于出水量时，水槽的液位将升高，浮球也随之升高，通过杠杆的作用使进水阀关小；反之，当液位降低，浮球通过杠杆使进水阀开大；当进水量与出水量相等时，浮球停在某一位置，阀门开度不变，液位保持稳定。在这里，浮球是测量元件，杠杆是一个具有比例作用的简单控制器。从静态看，阀门开度与液位偏差成正比；从动态看，阀门的动作与液位的变化是同步的，没有时间上的迟延。

设图2-25中的虚线位置代表新的平衡状态，则控制器输出量u（t）（即阀门开度的变化量）与输入量e（t）（即液位偏差）之间的关系，可由相似三角形的关系得到

　　 （2-69）

式中的b/a即比例放大倍数，改变杠杆支点O的位置即可改变该控制器的放大倍数。从这个例子中可以得到以下结论。

ⅰ.比例控制器的输出量与输入量具有一一对应的比例关系，因此比例控制具有控制及时、克服偏差的特点。

ⅱ.在系统的平衡遭到破坏后，要改变进入水箱的物料建立起新的平衡，这就要求控制器有输出作用。而要使控制器有输出，就必须要有偏差存在［即e（t）≠0］，因此比例控制必然有余差存在。

②比例度　工业上使用的控制器，常采用比例度（而不是放大倍数）来表示比例作用的强弱。所谓比例度是指控制器的输入相对变化量与相应输出的相对变化量之比的百分数，用式子表示为

　　 （2-70）

式中　　Δe——控制器输入信号的变化量；

Δu——控制器输出信号的变化量；

emax-emin——控制器输入信号的变化范围；

umax-umin——控制器输出信号的变化范围。

控制器的比例度可以理解为：要使输出信号作全范围的变化，输入信号必须改变全量程的百分之几，即输入与输出的比例范围。例如，一个电动比例控制器，它的量程是100～200℃，输出信号是4～20mA，当输入从140℃变化到160℃时，相应的控制器输出从7mA变化到12mA，则该控制器的比例度为

如果把比例度的数学表达式（2-70）改写为

　　 （2-71）

由式（2-71）可以看出：对于输入输出信号都是统一标准信号的控制器（如单元组合仪表系列），比例度与比例放大倍数互为倒数关系，即控制器的比例度越小，则比例放大倍数越大，比例控制作用越强。

③比例度对过渡过程的影响　在比例控制系统中，控制器的比例度不同，其过渡过程的形式也不同。那么如何通过改变比例度来获得所希望的过渡过程呢？这就要分析比例度对系统过渡过程的影响，其结果如图2-26所示。

ⅰ.比例度对余差的影响：比例度越大，放大倍数越小，由于u（t）=KPe（t），要获得同样大小的Δu，变化量所需的偏差就越大，因此在相同的干扰作用下，系统再次平衡时的余差就越大。反之，比例度减小，系统的余差也随之减小。

ⅱ.比例度对最大偏差、振荡周期的影响：在相同大小的干扰下，控制器的比例度越小，则比例作用越强，控制器的输出越大，使被控变量偏离给定值越小，被控变量被拉回到给定值所需的时间越短。所以，比例度越小，最大偏差越小，振荡周期也越短，工作频率提高。

ⅲ.比例度对系统稳定性的影响：比例度越大，则控制器的输出变化越小，被控变量变化越缓慢，过渡过程越平稳。随着比例度的减小，系统的稳定程度降低，其过渡过程逐渐从衰减振荡走向临界振荡直至发散振荡。

在控制器的基本控制规律中，比例控制是最基本、最主要、应用最普遍的规律，它能较为迅速地克服干扰的影响，使系统很快地稳定下来。比例控制作用通常适用于干扰少、扰动幅度小、负荷变化不大、滞后较小或者控制精度要求不高的场合。当单纯的比例控制作用不能满足工业过程的控制要求时，则需要在比例控制的基础上适当引入积分控制作用和微分控制作用。

（3）积分控制规律（I）

在积分控制规律中，控制器输出信号与输入偏差的积分成正比。其数学表达式为

　　 （2-72）

其传递函数为

　　 （2-73）

式中，KI为积分控制器的积分速度；TI为积分时间常数。

对积分控制器来说，其输出信号的大小不仅与输入偏差信号的大小有关，而且还取决于偏差存在时间的长短。只要有偏差，控制器的输出就不断变化。偏差存在的时间越长，输出信号的变化量也越大。只有在偏差等于零的情况下，积分控制器的输出信号才能相对稳定。因此可以认为，积分控制作用是力图消除余差。

在幅值为A的阶跃偏差输入作用下，积分控制器的输出特性如图2-27所示。将e（t）=A代入式（2-72）可得

　　 （2-74）

显然，式（2-74）所描述的是一条斜率为定值的直线，其斜率正比于控制器的积分速度。KI越大（即TI越小），直线越陡峭，积分作用越强。

纯积分控制的缺点在于，它不像比例控制那样输出u与输入e保持同步、反应较快，而是其输出变化总要滞后于偏差的变化。这样就不能及时有效地克服扰动的影响，其结果是加剧了被控变量的波动，使系统难以稳定下来。因此，在工业过程控制中，通常不单独使用积分控制规律，而是将它与比例控制组合成比例积分控制规律来应用。

（4）微分控制规律（D）

对于惯性较大的被控对象，如果控制器能够根据被控变量的变化趋势来采取控制措施，而不要等到被控变量已经出现较大偏差后才开始动作，那么控制的效果将会更好，等于赋予了控制器以某种程度的预见性，这种控制规律就是微分控制规律。

在微分控制规律中，控制器输出信号与输入偏差的变化速度成正比。其数学表达式为

　　 （2-75）

其传递函数为

Gc（s）=TDs　　 （2-76）

式中，TD为微分时间常数。

由式（2-75）可知，若在某一时刻t=T0输入一个阶跃变化的偏差信号e（t）=A，则在该时刻控制器的输出为无穷大，其余时间输出为零，其特性曲线如图2-28所示。显然这种特性没有实用价值，称为理想微分作用特性。

从图2-28中还可看出，微分控制器的输出只与偏差的变化速度有关，而与偏差的存在与否无关。即微分作用对恒定不变的偏差是没有克服能力的。因此，微分控制不能单独使用。实际上，微分控制总是与比例控制或比例积分控制组合使用的。

在实际工程中，可以实现的微分环节都具有一定的惯性，其微分方程为

　　 （2-77）

其传递函数为

　　 （2-78）

式中，KD为微分增益。

与理想微分控制规律相比，式（2-77）增加了一个时间常数为TD的惯性环节，这种微分控制称为实际微分控制规律。在幅值为A的阶跃扰动输入下实际微分控制规律的输出为

　　 （2-79）

实际微分环节的阶跃响应是指数下降曲线，如图2-29所示。若KD很大而TD较小时，实际微分控制就接近于理想微分控制。当t=TD时，由式（2-79）可得，u（TD）=0.368KDA，即t=TD时，控制器输出下降到初始跃变值KDA的36.8%。由响应曲线易求出与u（t）=0.368u（0）对应的时间（记为t0.368），即为微分时间常数TD。因而可以根据阶跃响应曲线求出参数KD和TD，即

　　 （2-80）

实际上，TD也就是以t=0时刻响应的变化速度，使控制器输出从初始值KDA变化到稳态值0所需要的时间。

（5）比例积分控制规律（PI）

①比例积分控制规律（PI）　是比例控制与积分控制两种控制规律的组合，其数学表达式为

　　 （2-81）

其传递函数为

　　 （2-82）

PI规律将比例控制反应快和积分控制能消除余差的优点结合在一起，因而在生产中得到了广泛应用。

在幅值为A的阶跃偏差输入作用下，比例积分控制器的阶跃响应曲线如图2-30所示。开始时，比例作用使输出跃变至KP A，然后是积分作用使输出随时间线性增加。用数学式表示为

　　 （2-83）

显然，在t=TI时刻，有输出u（t）=2KP A。因而可将积分时间TI定义为：在阶跃偏差输入作用下，控制器的输出达到比例输出两倍时所经历的时间。

积分时间表征出积分作用的强弱。TI越小，则积分速度越大，积分控制作用越强；反之，TI越大，积分作用越弱。若积分时间无穷大，则表示没有积分作用，控制器特性就变成了纯比例特性。工业用控制器中都有改变积分时间的功能键。

②积分时间对系统过渡过程的影响　在比例积分控制系统中，若保持控制器的比例度不变，则积分时间对过渡过程的影响如图2-31所示。从图中可以看出，积分时间对过渡过程的影响具有双重性：随着积分时间的减小，积分作用不断增强，在相同的扰动作用下，控制器的输出增大，最大偏差减小，余差消除加快，但同时系统的振荡加剧，稳定性下降。TI过小，还可能导致系统的不稳定。

在比例控制系统中，由于加入积分作用将会使系统的稳定性有所下降，因此若要保持原有的稳定性，则必须根据积分时间的大小，适当地增加比例度，这样就会使系统的振荡周期增大，控制时间增加，最大偏差增加。也就是说，积分作用的引入，一方面消除了系统的余差，而另一方面却降低了系统的其他品质指标。

比例积分控制规律的适用性很强，在多数场合下均可采用。只是当被控对象的滞后很大时，PI控制可能时间较长；或者当负荷变化特别剧烈时，PI控制不够及时。在这种情况下，可再增加微分作用。

例2-4　　有一台比例积分控制器，它的比例度为50%，积分时间为1min。开始时，测量、给定和输出都在50%，当测量变化到55%时，输出变化到多少？1min后又变化到多少？

解　由题可知，δ=50%，TI=1min

比例积分控制器的输出和输入的关系如式（2-81）。

如果输入为一阶跃信号e（t）=Δe，则相应的输出为

当测量由50%跃变到55%的一瞬间，时间t=0，Δe=5%。已知控制器的比例度δ=50%，积分时间T=1min，代入上式可得

　　（t=0）

即输出变化为10%，加上原有的50%，所以输出跃变到60%。

1min后，输出变化为

加上原有的50%，所以1min后输出为

u（t）=50%+20%=70%

（6）比例微分控制规律（PD）

①比例微分控制规律（PD）　是比例控制与微分控制两种控制规律的组合，其数学表达式为

　　 （2-84）

其传递函数为

　　 （2-85）

在阶跃偏差输入下，控制器的输出响应曲线如图2-32所示。

工业上实际采用的PD控制规律是比例控制与实际微分控制的组合。当输入偏差e（t）的幅值为A的阶跃信号时，实际比例微分控制的阶跃响应特性曲线如图2-33所示，其数学表达式如下

u（t）=KPA+KPA（KD-1）　　 （2-86）

工业控制器的微分增益KD一般在5～10范围内。由式（2-65），当t=TD/KD时，有

u（t）=KP［A+0.638A（KD-1）］　　 （2-87）

即在t=TD/KD时刻，PD控制器的输出从跃变脉冲的顶点下降了微分作用部分最大输出的63.2%。令t=TD/KD，则t的KD倍就是微分时间TD。利用这个关系，可通过实验来测定微分时间TD。

由于微分作用总是力图阻止被控变量的任何变化，所以适当的微分作用有抑制振荡的效果。若微分作用选择适当，将有利于提高系统的稳定性；若微分作用过强，即微分时间TD过大，反而不利于系统的稳定。工业用控制器的微分时间可在一定范围内（例如3s～10min）进行调整。

②微分时间对过渡过程的影响　在比例微分控制系统中，若保持控制器的比例度不变，微分时间对过渡过程的影响如图2-34所示。从图中可以看出，微分时间TD太小，对系统的品质指标影响甚微，如图中的曲线1；随着微分时间的增加，微分作用增强；当TD适当时，控制系统的品质指标将得到全面的改善，如图中的曲线2；但若微分作用太强，反而会引起系统振荡，如图中的曲线3。

（7）比例积分微分控制规律（PID）

理想的PID控制规律的数学表达式为

　　 （2-88）

其传递函数为

　　 （2-89）

不难看出，由上式所描述的控制器在物理上也是无法实现的。工业上实际采用的PID控制器如DDZ型控制器，其传递函数为

　　 （2-90）

其中

=FKP　　=FTI　　=TD/F

式中带*的量为控制器参数的实际值，不带*的值为各参数的刻度值。F为相互干扰系数；KI为积分增益。图2-35给出了工业用PID控制器的阶跃响应曲线。

在PID控制器中，比例、积分和微分作用取长补短、互相配合，如果比例度、积分时间、微分时间这三个参数整定适当，就可以获得较高的控制质量。因此，PID控制器的适应性较强，应用也较为普遍，是历史最悠久、生命力最强的基本控制方式。PID控制的优点如下。

ⅰ.原理简单，使用方便，成本低廉，易于操作。

ⅱ.适应性强，可以广泛应用于各种工业过程控制领域。

ⅲ.鲁棒性强，即其控制品质受对象特性的变化不大敏感。

2.3.2　控制规律的选取

为了对各种控制规律进行比较，图2-36表示了同一对象在相同阶跃干扰作用下，采用不同控制规律时具有同样衰减比的响应曲线。显然，PID控制的控制作用最佳，但这并不意味着在任何情况下采用PID控制规律都是合理的。在PID控制器中有三个参数需要整定，如果这些参数整定不合适，不仅不能发挥各种控制规律的应有作用，反而会适得其反。

事实上，选择什么样的控制规律与具体对象相匹配，这是一个比较复杂的问题，需要综合考虑多种因素方能获得合理解决。通常，选择控制器控制规律时应根据对象特性、负荷变化、主要扰动和控制要求等具体情况，同时还应考虑系统的经济性以及系统投入方便等。关于控制规律的选取可归纳为如下几点。

ⅰ.简单控制系统适用于控制负荷变化较小的被控对象，如果负荷变化较大，无论选择哪种控制规律，简单控制系统都很难得到满意的控制质量，此时，应设计选用复杂控制系统。

ⅱ.在一般的控制系统中，比例控制是必不可少的。当广义对象控制通道时间常数较小，负荷变化较小，而工艺要求不高时，可选择单纯的比例控制规律，如储罐液位、不太重要的压力等参数的控制。

ⅲ.当广义对象控制通道时间常数较小，负荷变化较小，而工艺要求无余差时，可选用比例积分控制规律，如管道压力、流量等参数的控制。

ⅳ.当广义对象控制通道时间常数较大或容量滞后较大时，应引入微分作用。如工艺允许有余差，可选取比例微分控制规律；如工艺要求无余差时，则选用比例积分微分控制规律，如温度、成分、pH等参数的控制。

如果被控对象传递函数可用GP（s）=近似，则可根据对象的可控比τ/T选择控制器的控制规律。当τ/T>0.2时，选择比例或比例积分规律；当0.2<τ/T<0.5时，选择比例微分或比例积分微分控制规律；当τ/T>0.5时，采用简单控制系统往往不能满足控制要求，这时应选用复杂控制系统。