2.2 被控对象的动态特性_过程装备控制技术及应用（第三版）-QQ阅读男生武侠网

上QQ阅读APP看本书，新人免费读10天

设备和账号都新为新人

2.2　被控对象的动态特性

控制质量的优劣是过程控制中最重要的问题，它主要取决于自动控制系统的结构及其各个环节的特性。其中，被控对象的特性是由生产工艺过程和工艺设备决定的，在控制系统的设计中是无法改变的。因此，必须深刻了解被控对象的特性，才能设计出合适的控制方案，取得良好的控制质量。

所谓被控对象的动态特性，就是当被控对象的输入变量发生变化时，其输出变量随时间的变化规律（包括变化的大小、速度等）。对一个被控对象来说，其输出变量就是控制系统的被控变量，而其输入变量则是控制系统的操纵变量和干扰作用。被控对象输入变量与输出变量之间的联系称为通道；操纵变量与被控变量之间的联系称为控制通道；干扰作用与被控变量之间的联系称为干扰通道。通常所讲的对象特性是指控制通道的对象特性。

2.2.1　被控对象的数学描述

在不同的生产部门中被控对象千差万别，图2-1已经讨论了一个单容水箱液位的数学模型，下面以此为例分析被控对象的数学描述形式。在连续生产过程中，最基本的关系是物料平衡和能量平衡。在静态条件下，单位时间流入对象的物料（或能量）等于从系统中流出的物料（或能量）；在动态条件下，单位时间流入对象的物料（或能量）与单位时间从系统中流出的物料（或能量）之差等于系统内物料（或能量）储存量的变化率。被控对象的数学描述就是由这两种关系推导出来的微分方程式。

（1）单容液位对象

①有自衡特性的单容对象　图2-1所示就是一个有自衡特性的水箱液位被控对象。

式（2-5）～式（2-9）是用来描述单容水箱被控对象的微分方程式，这几个方程都是一阶常系数微分方程式。因此，将这样的被控对象叫作一阶被控对象。式（2-6）中的T称为时间常数，K称为被控对象的放大系数，它们反映了被控对象的特性。

图2-1所示的水箱液位被控对象，在初始平衡状态时，稳态流量为Qs，流入水箱的流量等于流出水箱的流量，因此，液位稳定在某一数值Hs上，处于平衡状态。在t0时刻，若流入量突然有一阶跃变化量qi，则可由式（2-8）解微分方程求出相应的液位变化量

　　（2-34）

根据式（2-34）画出图2-1水箱液位被控对象在阶跃输入作用下的特性曲线如图2-8所示。从曲线上可以看出，在初始阶段，由于Qi突然增加qi而流出量Qo还没有变化，因此液位H上升速度很快；随着液位的上升，水箱出口处的静压增大，因此qo随之增加，qi与qo之间的差值就越来越小，液位增量h的上升速度就越来越慢，由式（2-34）和图2-8可以看出，当t→∞时

h=Kqi　　（2-35）

图2-8　单容被控对象自衡特性曲线

此时，K和qi均为常数。所以液位稳定在一个新的平衡状态，qi=qo。这就是被控对象的自衡特性，即当输入变量发生变化破坏了被控对象的平衡而引起输出变量变化时，在没有人为干预的情况下，被控对象自身能重新恢复平衡的特性。自衡特性有利于控制，在某些情况下，使用简单的控制系统就能得到良好的控制质量，甚至有时可以不用设置控制系统。

②无自衡特性的单容对象　在实际生产中，还有一类无自衡特性的被控对象。图2-9就是一个典型的例子。由于泵的出口流量Qo不随液位变化而变化，因此对象的动态方程为

　　（2-36）

图2-9　无自衡单容液位对象

在t0时刻之前，被控对象处于平衡状态，Qi=Qo。假定在t0时刻，水槽的流入量突然有一个阶跃变化qi，由式（2-36）可得

　　（2-37）

它的特性曲线如图2-10所示。由于水箱的流出量不变，所以当流入量突然增加qi时，液位H将随时间t的推移恒速上升，不会重新稳定下来，直至水槽顶部溢出，这就是无自衡特性。无自衡特性的被控对象在受到扰动作用后不能重新恢复平衡，因此控制要求较高。对这类被控对象除必须施加控制外，还常常设有自动报警系统。

图2-10　无自衡特性曲线

（2）双容液位对象

双容水箱如图2-11所示。它有两个串联在一起的水箱，它们之间的连通管具有阻力，因此两者的液位是不同的。进水Qi1首先进入水箱1，然后再通过水箱2流出。水流入量Qi2由阀1控制，流出量Qo决定于阀2的开度（根据用户的需要改变），被控变量是水箱2的液位H2。

图2-11　双容液位对象

下面分析液位变化量h2在阀1开度扰动下的动态特性。根据物料平衡方程可以写出两个关系式。

水箱1的动态平衡关系为

　　（2-38）

水箱2的动态平衡关系为

　　（2-39）

式（2-38）与式（2-39）相加得

　　（2-40）

在qi2、qo变化量极小时，水流出变化量与液位变化量的关系近似为

　　（2-41）

　　（2-42）

将式（2-41）和式（2-42）代入式（2-39）并求微分后，经整理得到

　　（2-43）

再将式（2-42）和式（2-43）代入式（2-40），经整理得到

　　（2-44）

式中　A1，A2——分别为水箱1、2的横截面积；

R1，R2——分别为水箱1、2的出水阀阻力系数。

令T1=A1·R1，T2=A2·R2，K=R2，则

　　（2-45）

则该双容液位系统的传递函数为

　　（2-46）

式（2-45）就是描述图2-11所示双容水箱被控对象的二阶微分方程式。通常，这样的被控对象叫作二阶被控对象。式中的T1为水箱1的时间常数，T2为水箱2的时间常数，K为被控对象的放大倍数。图2-12显示了双容水箱在阶跃输入作用下的响应曲线。

图2-12　二阶对象特性曲线

以上介绍了液位被控对象的数学描述形式的推导，即数学模型的建立。对于其他类型比较简单的被控对象，如压力罐的压力、热交换器的温度、机械系统的质量弹簧阻尼器系统、电系统的RLC电路、液压控制器系统和直流电动机系统等被控对象，都可以用这种方法建立其数学模型。对于复杂的被控对象，直接用数学方法来建立模型是比较困难的。

例2-2　　换热器是化工系统的典型单元设备，为了设计换热器的温度控制系统，需要首先建立换热器的数学描述，试用微分方程和传递函数两种方式建立两股流体热交换的换热器的数学描述。

解　设被加热流体的进口温度θi（℃）保持不变，流入、流出换热器的被加热质量流量G（ kg/s ）不变。当加热流体热流量稳定在Qs（ kJ/s ）时，被加热流体在换热器中得到的热流量随已加热流体被带出。这时加热流体的温度θs（℃）保持不变。

在加热流体热流量发生qi（kJ/s ）变化的动态过程中，qi的一部分由被加热流体带走，还有一部分使换热器内流体的温度变化（储存热量变化）。设被加热流体出口温度的变化量为θ（℃）。被加热流体带走热流量的变化量为qo（kJ/s ）。根据能量平衡原理，qi，qo和θ 之间的关系为

式中，M为换热器中流体质量，kg；cp为流体的比热容，kJ/（kg·℃）。

被加热流体带走的热量变化量为

qo=Gcpθ

如果记C=Mcp，R=1/（Gcp），则可获得

根据传递函数的定义可得该换热器加热流体热流量对被加热流体出口温度的传递函数为

这就是换热器的传递函数表达。在实际过程中，换热过程还需考虑延迟，所以实际换热器的传递函数还包含延迟环节。注意本例中qi、qo是热流量，与前面的体积流量不同。

2.2.2　被控对象的特性参数

描述被控对象特性的参数有放大系数K、时间常数T和滞后时间τ。

（1）放大系数

式（2-6）及式（2-46）中的K就是对象的放大系数，又称静态增益，是被控对象重新达到平衡状态时的输出变化量与输入变化量之比。如图2-8所示，水箱液位在阶跃干扰作用下产生变化，当它重新达到平衡状态时，液位H稳定在一个新的数值上。此时，输出变化量h与输入变化量qi有式（2-35）所示的对应关系。

由上述结果可以归纳出有关放大系数的几个一般性结论。

ⅰ.放大系数K表达了被控对象在干扰作用下重新达到平衡状态的性能，是不随时间变化的参数。所以K是被控对象的静态特性参数。

ⅱ.在相同的输入变化量作用下，被控对象的K越大，输出变化量就越大，即输入对输出的影响越大，被控对象的自身稳定性越差；反之，K越小，被控对象的稳定性越好。

K在任何输入变化情况下都是常数的被控对象称为线性对象。输入不同的变化量其放大系数不为常数的被控对象，称为非线性对象。非线性对象是比较难控制的。

处于不同通道的放大系数K对控制质量的影响是不一样的。对控制通道而言，如果K值大，则即使控制器的输出变化不大，对被控变量的影响也会很大，控制很灵敏。对于这种对象，其控制作用的变化应相应地缓和一些，否则被控变量波动较大，不易稳定。反之，K小，会使被控变量变化迟缓。对干扰通道而言，如果K较小，即使干扰幅度很大，也不会对被控变量产生很大的影响。若K很大，则当干扰幅度较大而又频繁出现时，系统就很难稳定，除非设法排除干扰或者采用较为复杂的控制系统，否则很难保证控制质量。

（2）时间常数

式（2-6）以及式（2-46）中的T、T1、T2都叫作时间常数，它反映了被控对象受到输入作用后，输出变量达到新稳态值的快慢，它决定了整个动态过程的长短。因此，它是被控对象的动态特性参数。图2-13显示了不同时间常数下单容对象的响应曲线。随着时间常数T的增加，输出量到达新稳态值的时间也变长。

图2-13　不同时间常数比较

处于不同通道的时间常数对控制系统的影响是不一样的。对于控制通道，若时间常数T大，则被控变量的变化比较缓和，一般来讲，这种对象比较稳定，容易控制，但缺点是控制过于缓慢；若时间常数T小，则被控变量的变化速度快，不易控制。因此，时间常数太大或太小，对过程控制都不利。而对于干扰通道，时间常数大则有明显的好处，此时阶跃干扰对系统的影响会变得比较缓和，被控变量的变化变得平稳，对象容易控制。

（3）滞后时间

有不少化工对象，在受到输入变量的作用后，其被控变量并不立即发生变化，而是过一段时间才发生变化，这种现象称为滞后现象。滞后时间是描述对象滞后现象的动态参数。根据滞后性质的不同可分为传递滞后和容量滞后两种。

①传递滞后τ0　又叫纯滞后，是由于信号的传输、介质的输送或热的传递要经过一段时间而产生的，常用τ0来表示。如图2-14（a）所示的溶解槽，加料斗中的固体用皮带输送机送至溶解槽。在加料斗加大送料量后（即阶跃输入），固体溶质需等输送机将其送到加料口并落入槽中后，才会影响溶解槽内溶液的浓度。若以加料斗的加料量作为对象的输入，以溶液浓度作为对象的输出，则其响应曲线如图2-14（b）。显然纯滞后τ0与皮带输送机传送速度u和传递距离L有如下关系

　　（2-47）

图2-14　溶解槽及其阶跃响应曲线

②容量滞后τc　一般是由于物料或能量的传递过程中受到一定的阻力而引起的，或者说是由于容量数目多而产生的。一般用容量滞后时间τc来表征其滞后的程度，其主要特征是当输入阶跃作用后，被控对象的输出变量开始变化很慢，然后逐渐加快，接着又变慢，直至逐渐接近稳定值。如图2-11所示的双容液位对象，从其响应曲线图2-12可以看出上述变化趋势。容量滞后时间τc就是在响应曲线的拐点B处作切线，切线与时间轴的交点A与被控变量开始变化的起点之间的时间间隔就是容量滞后时间τc。

从原理上讲，传递滞后和容量滞后的本质是不同的，但实际上很难严格区分。当两者同时存在时，通常把这两种滞后时间加在一起，统称为滞后时间，用τ来表示，即τ=τ0+τc。

在控制系统中，滞后的影响与其所在的通道有关。对控制通道来讲，滞后的存在不利于控制。例如，控制阀距对象较远，控制作用的效果要隔一段时间才能显现出来，这将使控制不够及时，在干扰出现后不能迅速控制，严重影响控制质量。对于干扰通道，纯滞后只是推迟了干扰作用的时间，因此对控制质量没有影响。而容量滞后则可以缓和干扰对被控变量的影响，因而对控制系统是有利的。

例2-3　　已知某对象在蒸汽流量从25m3/h增加到28m3/h的温度阶跃响应曲线如图2-15所示，温度测量仪表的测量范围为0～200℃，蒸汽流量测量仪表的测量范围为0～40m3/h。试求解该系统的放大系数、时间常数和滞后时间，并写出描述该对象特性的微分方程。

图2-15　某对象的温度响应曲线

解　由阶跃响应曲线可知

放大系数

时间常数

滞后时间

由上述参数，可获得描述该对象特性的微分方程（假设温度变化量为T，q为流量变化量）

2.2.3　对象特性的实验测定

前面从工艺过程的机理出发，写出各种有关的平衡方程（如物料平衡、能量平衡等），求取被测对象的微分方程式，是求取对象特性的机理建模法。还有一种方法，首先让对象处于稳定状态，其次给对象输入一个激励信号，使对象处于动态变化的过程中；然后根据测得的一系列的实验数据或曲线，进行数据分析和处理，得到对象特性参数的具体数值，这就是求取对象特性的实验测定法。

机理建模法的精度依赖于对被测对象内部的物理、化学过程了解的程度，而实际上，相当多的工业对象其内部的工艺过程很复杂，其微分方程多为高阶非线性形式；错综复杂的相互作用会给对象的特性参数产生难以估计的影响，使得方程的求解很困难。而如果作出一些假设和简化，可以得到较为简单的形式，这样推得的结果必须经过实验加以验证。因此，工程上多采用机理建模与实验测定相结合的方法来获得对象的动态特性，先通过机理建模获取对象模型的结构形式，然后通过有目的的实验测定和数据处理，求得模型中各参数的数值。这个过程称为系统辨识。

加入的激励信号不一样，实验数据的分析方法也不一样。据此分类，常用的实验测定法主要有以下几种。

①时域分析法　在被测对象的输入端施加阶跃信号或脉冲信号，测绘出对象的输出变量随时间变化的阶跃响应曲线或脉冲响应曲线，然后分析响应曲线，从而确定对象的数学模型。这种测试方法简单易用，在精度要求不高的场合应用非常广泛。

②频域分析法　对被测对象施加不同频率的正弦波，测出输入量与输出量的幅值比和相位差，获得对象的频率特性，从而确定被测对象的传递函数。这种方法在原理和数据处理上都比较简单，但是需要专门的频率发生器和频响测试设备，相位测试的精度不高。

③统计分析法　对被测对象施加某种随机信号，观察和记录由此引起的各参数的变化，然后运用统计相关法研究对象的动态特性。这种方法可在生产过程正常状态下进行，精度也较高；但是需获取的数据量巨大，且需要进行复杂的数字信号处理。

下面介绍时域分析法，其他方法可参阅有关文献。

（1）时域响应的测定

时域分析法采用的激励信号多为阶跃信号，即先让被测对象稳定在某个输入值下达到平衡状态，在某一时刻突然改变它的输入值，对象将逐渐运动到新的平衡态，记录下这一过程中输出变量的变化过程，即为阶跃响应（又称为飞升特性）。阶跃响应实验过程简单，而且后续的数据处理也是以阶跃响应曲线为基础的，因此是时域分析的首选。但是在实际运用中，阶跃输入有时会使被测对象的输出变化超过允许范围；或受运行条件的限制，不允许对象的输出长时间偏离正常值。这时可采用矩形脉冲信号做激励，由脉冲响应曲线通过作图法转换为阶跃响应曲线，如图2-16所示，从图中可以看出

　　（2-48）

图2-16　由矩形脉冲响应确定阶跃响应

设u1（t）、u2（t）作用下的阶跃响应曲线为c1（t）和c2（t），如图2-16所示。则脉冲响应曲线为

c（t）=c1（t）+c2（t）=c1（t）-c1（t-Δt）

即

c1（t）=c（t）+c1（t-Δt）　　（2-49）

式（2-49）就是由矩形脉冲响应曲线c（t）转换为阶跃响应曲线c1（t）的根据。具体做法如下。

将时间轴按Δt分成n等份，在0～t0+Δt区间，阶跃响应曲线与矩形脉冲响应曲线重合。即

c1（t）=c（t）　（0<t≤t0+Δt）　　（2-50）

在t0+Δt<t≤t0+2Δt区间内

c1（t）=c（t）+c1（t-Δt）　　（2-51）

依次类推，最后得到完整的阶跃响应曲线c1（t）。

（2）时域数据处理方法

由实验测得的响应曲线，结合选定的模型结构，就可以计算对象的特性参数的数值了。对于同一个响应曲线，可以用不同的模型结构去拟合它。这里所谓的结构主要指对象数学模型（微分方程或传递函数）的阶次，采用高阶模型拟合的精度高，但是结构复杂、计算量大；而采用低阶模型则相反。折中的办法就是在满足精度要求的前提下尽量采用低阶（一阶和二阶）模型。为讨论方便，数学模型以传递函数表示。

设初始平衡状态为c（0）=0，阶跃输入量为Δu。

①一阶自衡对象特性参数　常见的一种阶跃响应曲线如图2-17（a）所示，可按一阶惯性环节加纯滞后来处理，其数学模型为

　　（2-52）

其中，静态放大倍数为

　　（2-53）

图中，O～A段输出不变化，为纯滞后，A点以后为惯性环节。现在求取T和τ。

第一种方法为切线法。在图2-17（a）中，过点A作响应曲线的切线，交稳态值线于点B，得点B的横坐标为t2。则有

τ=t1

T=t2-t1　　（2-54）

该方法求取的时间常数T，其精度受切线作图准确性的影响，因此推荐切线法的一个推论：在响应曲线上寻找这样一个点P，其纵坐标值恰为0.63c∞，如图2-17（a）所示，则该点的横坐标即为比较准确的t2，再代入式（2-54）计算。为避免找到的点P恰为某个测量点而引入该点的测量误差，可事先对整个响应曲线进行平滑拟合，以处理过的曲线参与作图。

图2-17　求取一阶自衡对象特性参数作图法

第二种方法为两点法。其原理为：式（2-52）相对应的阶跃响应在时域上的解析解为

　　（2-55）

理论上可取两点坐标值代入式（2-55），即可求解T和τ。为了计算简单，工程上常取这样的两个点A、B，使得其横坐标t1<t2，且纵坐标c（t1）=0.39c∞，c（t2）=0.63c∞，如图2-17（b）所示。则有

τ=2t1-t2

T=2（t2-t1）　　（2-56）

②二阶自衡对象特性参数　若阶跃响应曲线是类似于图2-18（a）所示的S形曲线，在精度要求不高的情况下，也可按一阶惯性环节加纯滞后来处理，数学模型仍可表示为式（2-52），其中静态放大倍数仍按式（2-53）求取。求T和τ时可采用切线法，仍按式（2-54）求取，但是其中的t1、t2的值应按以下方式确定：在图2-18（a）上过拐点P作切线，交横轴于点A，交稳态值线于点B，A、B的横坐标分别为t1、t2；亦可用一阶两点法，作图和求解可参照图2-17（b）和式（2-56），不再赘述。