2.1　数学模型

控制系统在初始平衡态下受到某一时间函数r（t）的输入作用时，其输出响应将是另一个时间函数c（t）。r（t）与c（t）之间存在着某种因果关系，称为系统的动态特性。动态特性有多种表示方法，除了最直观的图示法外，一般采用数学模型来精确描述，如微分方程（动态方程）、传递函数、频率特性、状态空间模型、差分方程等。限于篇幅，这里不一一介绍，只把常用的微分方程、传递函数和方框图做一介绍，其他可参考自动控制原理的相关书籍。

2.1.1　微分方程

利用机械学、电学、力学、热力学等物理规律，可以得到控制系统的动态方程，这些方程对于线性定常连续系统而言通常是一种常系数的线性微分方程，简称为微分方程。

图2-1所示是一个简单的水箱液位被控对象，水经控制阀（入水阀）流入水箱，经负载阀（出水阀）流出箱外。稳态时流入量与流出量相等，液面高度保持恒定值。设定各变量：Hs为稳态液面高度，单位m；h（t）为液面高度相对稳态值Hs的微小增量；Qs为稳态流量，单位m3/s；qi（t）、qo（t）分别为流入、流出水箱的流量相对稳态值Qs的微小增量；u（t）为控制阀开度相对稳态开度u0的微小增量；A为水箱的横截面积，单位m2。

流出流量Qo与液面高度H有关。当流出负载阀的流体为紊流时，液面高度H与流出量Qo具有非线性特性，如图2-2所示。负载阀液阻的定义为

　　 （2-1）

对式（2-1）关系进行如下的处理：在稳定状态下，当流入量有一微小变化qi（t）时，液面高度和流出量也分别有一微小的变化h（t）和qo（t），这时液阻R可近似看作负载阀静特性稳态工作点（Qs，Hs）上的斜率，在小偏差范围内可以视为常量。即R=h（t）/qo（t），或

h（t）=qo（t）R　　 （2-2）

对于控制阀，当阀门开度变化u时，流入量qi与u呈线性关系

qi（t）=kuu（t）　　 （2-3）

式中，ku为控制阀的放大系数。

由于在dt时间内，水箱中液体的变化量等于在同一时间间隔内水箱中流入、流出量的差。即

Adh（t）=［qi（t）-qo（t）］dt

或

　　 （2-4）

将式（2-2）和式（2-3）代入式（2-4），并用C代替A，可以得到水箱系统以u为输入、h为输出的微分方程

　　 （2-5）

令T=RC，K=Rku，并代入式（2-5），可得

　　 （2-6）

同样，以u（t）为输入，qo（t）为输出时，系统微分方程为

　　 （2-7）

以qi（t）为输入，h（t）为输出时，系统微分方程为

　　 （2-8）

以qi（t）为输入，qo（t）为输出时，系统微分方程为

　　 （2-9）

一个自动控制系统是由若干个动态环节连在一起构成的。每个环节都有各自的输入量和输出量。对每一个环节而言，一定的输入量变化都会引起一定的输出量变化。根据每个环节中所进行的物理过程可以写出其微分方程。微分方程表示了该环节的输出量与输入量之间的关系，也就是动态特性。这种微分方程描述的关系也可以表示成传递函数。

2.1.2　传递函数

先介绍拉普拉斯变换定义：设f（t）为时间函数，且当t<0时， f（t）=0，则f（t）的拉普拉斯变换定义为

　　 （2-10）

式中，f（t）为原函数；F（s）为f（t）的拉普拉斯变换，也称为f（t）的像函数；s=σ+jω为复变量；L为拉普拉斯运算符号。

拉普拉斯变换性质可以参阅积分变换、自动控制原理的相关书籍。常用的拉普拉斯变换见附录1所示。

拉普拉斯变换把时域函数f（t）变成了s域函数F（s）。同样，也可以把s域函数F（s）通过拉普拉斯反变换得到时域函数f（t）

　　 （2-11）

记作

f（t）=L-1　　 （2-12）

传递函数的定义：零初始条件下系统（或环节）的输出拉普拉斯（Laplace）变换与输入拉普拉斯变换之比。

设控制系统（或环节）的微分方程为

　　 （2-13）

式中，x（t）为系统（或环节）的输入；y（t）为系统（或环节）的输出；an，an-1，…，a0和bm，bm-1，…，b0为系数。当an，an-1，…，a0和bm，bm-1，…，b0为常系数时，系统为线性定常系统。

在初始条件为零的情况下，对式（2-13）进行拉普拉斯变换得

ansnY（s）+an-1sn-1Y（s）+…+a1sY（s）+a0Y（s）=

bmsmX（s）+bm-1sm-1X（s）+…+b1sX（s）+b0X（s）

根据定义，该系统（或环节）的传递函数［记为G（s）］为

　　 （2-14）

根据传递函数的定义，可以作如下分析。

ⅰ.传递函数只适用于描述线性定常系统。

ⅱ.传递函数是一种以系统（或环节）参数表示的输入量与输出量之间关系的数学表达式，它只取决于系统（或环节）本身的特性，而与输入量和输出量的形式和大小无关。

ⅲ.传递函数包含着联系输入和输出所必需的单位，但不能表明系统的物理结构和过程（如电气过程、机械过程、热力过程等）。

ⅳ.传递函数是一种以复变量s为变量的代数数学模型。

ⅴ.传递函数分母多项式中s的最高阶次（等于输出量最高阶导数的阶数）为n时，这种系统（环节）称为n阶系统（环节）。自动控制系统中，传递函数的分子多项式的阶次m低于或等于分母多项式的阶次n，即n≥m。

ⅵ.传递函数分母多项式A（s）=ansn+an-1sn-1+…+a1s+a0称为系统（环节）的特征多项式。令特征多项式等于零，即

ansn+an-1sn-1+…+a1s+a0=0　　 （2-15）

称为系统（环节）的特征方程。

ⅶ.特征方程的根称为系统（环节）的极点。而使传递函数分子多项式等于零的s值称为系统（环节）的零点。

根据传递函数的定义，可以方便地求出2.1.1节液面系统的传递函数。对方程（2-5）进行初始条件为零的拉普拉斯变换，有

（RCs+1）H（s）=RkuU（s）

因此，可得液面系统控制阀开度对液位的传递函数为

　　 （2-16）

由方程（2-7）可得控制阀开度对流出量的传递函数为

　　 （2-17）

由方程（2-8）可得流入量对液位的传递函数为

　　 （2-18）

由方程（2-9）可得流入量对流出量的传递函数为

　　 （2-19）

以上各式中，RC具有时间的量纲，称之为时间常数。

2.1.3　方框图的简化

控制系统的方框图表示了系统中各变量之间的因果关系以及各变量所进行的运算，是由若干环节以不同的方式连接而成的。按照动态特性不同，可以把构成系统方框图的各基本环节划分为比例环节、惯性环节、积分环节、微分环节、振荡环节和迟延环节，取环节输入为r（t），输出为c（t），环节的传递函数为G（s），则其拉普拉斯变换见表2-1。

2.1.3.1　环节的基本连接方式

自动控制系统方框图的环节之间有串联、并联和反馈（反并联）三种基本连接方式。

（1）串联

在串联环节中，前一个环节的输出作为后一个环节的输入，如图2-3所示。

根据图2-3可以得出以下的等式

R2（s）=G1（s）R1（s）

R3（s）=G2（s）R2（s）

…

Rn（s）=Gn-1（s）Rn-1（s）

C（s）=Gn（s）Rn（s）　　 （2-20）

根据式（2-20），可以导出下面的函数

　　 （2-21）

因此，各个环节总的传递函数为

G（s）=G1（s）G2（s）…Gn（s）　　 （2-22）

这里必须注意的是，在应用公式（2-22）时，每个环节都必须具有单向性（无负载效应）。

（2） 并联

并联环节输入量都相同，输出量的代数和作为环节组的输出，如图2-4所示。

每个环节的输入量都为R（s），环节组的总输出为

　　 （2-23）

又因为

C1（s）=G1（s）R（s）

C2（s）=G2（s）R（s）

M

Cn（s）=Gn（s）R（s）　　 （2-24）

将式（2-24）代入式（2-23）中可得

　　 （2-25）

因此并联环节总的传递函数为

　　 （2-26）

根据拉氏反变换的线性定理可知，环节并联后总输出量的时间函数就等于各并联环节输出分量时间函数的代数和。

（3）反馈连接（反并联）

反馈连接是自动控制系统中应用最普遍的连接方式。自动控制系统和模拟自动控制器都是根据反馈原理而设计的。在反馈连接中，信号的传递构成闭合回路，如图2-5所示。

在图2-5所示的反馈连接中，反馈连接环节总的传递函数G（s）的输出C（s）在经过环节H（s）后成为反馈信号B（s），反馈信号又送到环节G（s）的输入端。在信号的合点上有

　　 （2-27）

联立（2-27）两个方程式，得到总的传递函数

　　 （2-28）

G（s）的分子是输入量E（s）到输出量C（s）沿信号前进方向的传递函数G1（s），称为前向通道传递函数，H（s）则称为反馈通道传递函数。如果是由负反馈连接环节组成传递函数G（s），那么式（2-28）中的分母是1+G1（s）H（s）；如果是由正反馈连接环节组成传递函数，那么其分母是1-G1（s）H（s）。上式中G1（s）H（s）称为开环传递函数。开环传递函数是把反馈连接所形成的闭环断开后所形成的传递函数。相对于开环传递函数，把G（s）称为闭环传递函数。当反馈通道的传递函数H（s）=1时，反馈环节可以不在框图中画出，但输入/输出信号线必须连接，这时系统称为单位反馈系统。

2.1.3.2　闭环系统的方框图与传递函数

图2-6是具有给定值R（s）、扰动输入D（s）和被控量为C（s）的典型闭环控制系统方框图。图中B（s）称为反馈，E（s）称为误差；G1（s）和G2（s）为前向通道传递函数；H（s）为反馈通道传递函数（有时也称为反馈传递函数）。

由图2-6可得

　　 （2-29）

整理上述方程组，可得被控量C（s）与给定输入R（s）和扰动输入D（s）之间的关系为

　　 （2-30）

很显然R（s）与D（s）对C（s）的影响不一样。

（1） 给定值对系统输出的传递函数

设D（s）=0，由式（2-30）可得

根据传递函数的定义

　　 （2-31）

Gr（s）称为给定值作用下闭环系统的传递函数。

（2） 扰动量对系统输出的传递函数

设R（s）=0，由式（2-30）并结合传递函数的定义有

　　 （2-32）

Gd（s）称为扰动量作用下闭环系统的传递函数。

考虑式（2-31）和式（2-32），式（2-30）可写成

C（s）=Gr（s）R（s）+Gd（s）D（s）　　 （2-33）

值得一提的是，Gr（s）和Gd（s）的分母多项式都是1+G1（s）G2（s）H（s）。即无论根据给定值分析系统还是根据扰动量分析系统，传递函数特征多项式是一样的。换句话说，系统的特征方程只有一个，即

1+G1（s）G2（s）H（s）=0

2.1.3.3　方框图等效变换

在比较复杂的自动控制系统方框图中，各环节之间可能存在错综复杂的连接关系，不仅仅是环节之间简单的串联、并联和反馈连接方式，也不可能具有与图2-6所示的典型形式。而要获得整个系统的传递函数可采用方框图简化的方法。即将控制系统中的一些环节按等价变换原则进行重新排列，这称为方框图的等效变换。这样可以使复杂的方框图得到简化，从而可以方便地求出系统的传递函数。

表2-2汇总了方框图等效变换的规则。为了使用方便，将环节的串联、并联和反馈公式一并列入表2-2。

例2-1　　试求图2-7（a）所代表的控制系统的传递函数。

解　利用表2-2的有关方框图化简规则，首先把反馈回路包括G1和G3作等效变换，注意到这是一个正反馈回路。变换后结果如图2-7（b）。然后把G6的入口点移到回路外面（即G2出口），如图2-7（c）所示。这时，左侧的负反馈回路与右侧的子系统（方框G5和G6/G2并联）是串联连接。因此可以利用基本环节连接化简方式求得整个系统的传递函数为

复杂的方框图还可以采用梅森公式进行化简，可以参阅自动控制原理相关书籍。