1.1　复数及其运算

1.1.1　复数的概念

在中学代数中已经知道，一元二次方程x2+1=0在实数范围内无解.为求解此类方程，引入了新的数i，规定i2=-1，且称i为虚数单位.从而方程x2+1=0的根记为，由此引入复数的定义.

定义1.1.1　设x，y为任意实数，则称z=x+iy为复数，其中x称为z的实部，记为Re（z）=x，y称为z的虚部，记为Im（z）=y.

当x=0，y≠0时，则z=iy称为纯虚数；当y=0时，则z=x为实数，因此复数是实数概念的推广.

若记=x-iy，则称它为复数z=x+iy的共轭复数.例如，复数z=5+2i的共轭复数为z=5-2i，且有，

两个复数相等即当且仅当它们的实部和虚部分别相等.如设z1=x1+iy1，z2=x2+iy2，则z1=z2⇔x1=x2，y1=y2.当一个复数为0时，当且仅当它们的实部和虚部同时为0.

注意　两个不全为实数的复数不能比较大小.

1.1.2　复数的表示法

由于复数z=x+iy由一对有序实数（x，y）所唯一确定，它与xOy平面上坐标为（x，y）的点是一一对应的，也与从原点指向点（x，y）的平面向量是一一对应的，因此在该平面上可用上述点和向量来表示复数z=x+iy（图1.1.1），所以常把“点z”或“向量z”作为“复数z”的同义词.此时，称表示复数z=x+iy的xOy平面为复平面或z平面，其中x轴上的点表示的是实数，称x轴为实轴；y轴上的点表示的是纯虚数，称y轴为虚轴.当y≠0时，点z与关于实轴对称.

定义1.1.2　在复平面中，称向量z的长度为复数z的模或绝对值，记为

　　　（1.1.1）

当z≠0时，我们把向量z与x轴正向的交角θ称为复数z的辐角，记为Arg（z）=θ，于是有

x=rcosθ，　y=rsinθ.　　　（1.1.2）

注意　z=0的辐角不确定，即Arg（0）无意义.当z≠0时，其辐角Arg（z）有无穷多个，它们彼此相差2π的整数倍，可是满足条件-π<Arg（z）≤π的辐角值却只有一个，称该值为其辐角的主值，记为arg（z），于是有

-π<arg（z）≤π，　　　（1.1.3）

Arg（z）=arg（z）+2kπ　（k=0，±1，±2，…）.　　　（1.1.4）

且当z=x+iy≠0时，有

　　　（1.1.5）

其中

一对共轭复数z和在复平面的位置是关于实轴对称的（图1.1.1），因而，如果z不在原点和负实轴上，还有

复数z=x+iy通常称为复数的代数表达式.由式（1.1.2）和欧拉公式：eiθ=cosθ+isinθ，可分别写出其三角式和指数式，即

z=r（cosθ+isinθ），　z=reiθ.　　　（1.1.6）

因此，复数的表示法基本有三种

①z=x+iy（代数形式）；

②z=r（cosθ+isinθ）（三角形式）；

③z=reiθ （指数形式）.

这三种表示法可以互相转换，以适应讨论不同问题的需要.

【例1.1.1】　将化为三角式和指数式.

解　r=|z|=2且

由式（1.1.6）得z的三角式为

而z的指数式为

1.1.3　复数的四则运算

设两个复数为z1=x1+iy1，z2=x2+iy2，它们的加、减、乘、除运算定义如下：

z1±z2=x1±x2+i（y1±y2）；

z1·z2=（x1x2-y1y2）+i（x1y2+x2y1）；

不难证明，复数的加、减、乘运算和实数的情形一样，也满足交换率、结合律和分配率：

z1+z2=z2+z1，　z1z2=z2z1；

z1+（z2+z3）=（z1+z2）+z3，　z1（z2z3）=（z1z2）z3；

z1（z2+z3）=z1z2+z1z3.

共轭复数有以下主要性质：

（1）

（2）

（3）

（4）

由于复数可以看作平面向量，所以当z1≠0且z2≠0时，其和、差运算可以在复平面上按照平行四边形法则或三角形法则来表示（图1.1.2）.

|z1-z2|就是点z1与z2之间的距离（图1.1.3），因此有

|z1+z2|≤|z1|+|z2|，|z1-z2|≥||z1|-|z2||.　　　（1.1.7）

对于非零复数zk=rk（cosθk+isinθk）　（k=1，2），利用三角函数的和、差公式，容易验证z1z2和z1/z2的三角式分别为

z1z2=r1r2［cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）］；

z1/z2=（r1/r2）［cos（θ1-θ2）+isin（θ1-θ2）］.

由此可以看出，

|z1z2|=|z1||z2|， |z1/z2|=|z1|/|z2|；　　　（1.1.8）

Arg（z1z2）=Arg（z1）+Arg（z2），Arg（z1/z2）=Arg（z1）-Arg（z2）.　　　（1.1.9）

注意　式（1.1.9）中等式两边是多值的，它们成立是指两边辐角值的集合相等，其中右端辐角的和（差）运算是指Arg（z1）的每个值可以加上（减去）Arg（z2）的任意一个值，另外，由于两个主值辐角的和或差可能超出主值的范围，因此对辐角的主值而言，等式不一定成立.

另外，对于z1=z2=z=r（cosθ+isinθ）和任意自然数n有

zn=rn（cosnθ+isinnθ）.　　　（1.1.10）

其中，zn表示n个相同复数z的乘积，称为z的n次幂.

如果定义，那么当n为负整数时上式也是成立的.

特别地，当z的模r=1，即z=cosθ+isinθ时，可得到棣莫弗（De Moivre）公式：

（cosθ+isinθ）n=cosnθ+isinnθ.　　　（1.1.11）

1.1.4　复数的n次方根

定义1.1.3　设有非零的已知复数z，若存在复数w使z=wn，则称w为复数z的n次方根，记为

为了求出根w，令z=r（cosθ+isinθ），w=ρ（cosφ+isinφ）.

根据式（1.1.10）有

ρn（cosnφ+isinnφ）=r（cosθ+isinθ），

于是

ρn=r，nφ=θ+2kπ　（k=0，±1，±2，…）；

即

其中是算术根，故所求方根为

　　　（1.1.12）

当k=0，1，2，…，n-1时，可得到n个不同的根，而当k取其他整数值时，以上的根会重复出现.例如k=n时，wn=w0.

从几何上易看出，的n个不同的根就是以原点为中心，为半径的圆的内接正n边形的n个顶点，任意两个相邻根的辐角都相差

【例1.1.2】　求

解　因为，，所以

即

k=0时， ；

k=1时， ；

k=2时， ；

k=3时， .

这四个根是内接于圆心在原点，半径为的圆的内接正方形的四个顶点（图1.1.4）.