3.3 柯西积分定理
由上一节复变函数积分与实函数积分的关系式（3.2.2）可以看出，复变函数积分与积分路径无关的充要条件是其右端的两个对坐标的曲线积分
和
都与积分路径无关.而当u，v具有一阶连续偏导数时，两个对坐标的曲线积分在单连通域D内与积分路径无关（或沿D内任意闭曲线积分为零）的充要条件是
这恰是函数f（z）=u+iv在单连通域D内解析的必要条件.那么自然会问，f（z）在单连通域D内解析时，能否保证沿D内任意闭曲线积分为零呢？下面的定理回答了这一问题.
3.3.1 柯西积分定理
定理3.3.1（柯西积分定理） 若函数f（z）在单连通域D内解析，则f（z）沿D内任意闭曲线（可以不是简单的）C积分为零，即
由此定理可以直接得出下面的常用结论.
若函数f（z）在简单闭曲线C上及其内部解析，则一定有
因为在单连通域D内曲线积分与积分路径无关和沿D内任意闭曲线积分为零是两个等价的命题，所以上述定理又可表述为：
图3.3.1
定理3.3.2 若函数f（z）在单连通域D内解析，则f（z）沿D内曲线C的积分
与连接起点到终点的路径无关，只与起点z0及终点z1（图3.3.1）有关.
此时可写作
其中z0和z1分别称为积分的下限和上限，如果下限z0固定，让上限z1变动，令z1=z，则积分
是上限z的单值函数，记作
（3.3.1）
同一元实函数的变上限的定积分类似，该式给出了被积函数与其原函数之间的关系，并且还提供了利用原函数计算复函数积分的计算公式.
3.3.2 解析函数的原函数及在积分计算中的应用
定理3.3.3 若f（z）=u+iv在单连通域D内解析，则式（3.3.1）中的函数F（z）必为D内的一个解析函数，并且F'（z）=f（z）.
为了讨论解析函数积分的计算，首先引入原函数的概念.
定义3.3.1 对于区域D内确定的函数f（z），如果存在函数Φ（z）使得在区域D内恒有Φ'（z）=f（z），则称Φ（z）为f（z）在区域D内的一个原函数，显然原函数在区域D内一定解析.
由定理3.3.3可知，式（3.3.1）中的F（z）是函数f（z）在D内的一个原函数.
根据第2章例2.2.4，容易证明f（z）的任意两个原函数相差一个常数.事实上，设G（z）和H（z）是f（z）的任意两个原函数，那么
［G（z）-H（z）］'=G'（z）-H'（z）=f（z）-f（z）=0，
所以G（z）-H（z）=C，C为任意常数.
利用原函数的这个关系，可以推得与牛顿-莱布尼茨公式类似的解析函数的积分计算公式.
定理3.3.4 若函数f（z）在单连通域D内解析，G（z）为f（z）在区域D内的一个原函数，则对D内任意定点z0和z1有
【例3.3.1】 计算积分
解 显然被积函数的奇点为z=±i，它们均在圆|z-4|=2的外部，于是被积函数在|z-4|=2上及其内部解析，由定理3.3.1知I=0.
图3.3.2
【例3.3.2】 计算下列积分
（1）
；（2）
（沿图3.3.2所示的曲线）.
解 （1）
（2）对数函数是多值的，若取定它的一个分支，它在除去原点及负实轴的复平面上是解析的，在该单连通域内，由于
，故
3.3.3 复合闭路定理
所谓复合闭路是指一种特殊的有界多连通域D的边界曲线Γ，它由若干条简单闭曲线组成，可简记为
，其中简单闭曲线C取正向（即逆时针方向）；
取负向，它们都在C的内部且互不包含也互不相交（图3.3.3）.Γ 的方向称为多连通域D的边界曲线的正向.
图3.3.3
将柯西积分定理推广到以上述复合闭路为边界的多连通域的情形便得到下面定理.
定理3.3.5（复合闭路定理） 设D是以复合闭路
为边界的多连通域.若函数f（z）在D内及边界Γ上解析，则
即
（3.3.2）
证 不失一般性，仅就n=2的情形证明.在区域D作割线段
，将D分为D1和D2两部分（图3.3.3）.于是D1和D2的正向边界P1P2mP3P4nP5P6eP1和P1e'P6P5n'P4P3m'P2P1都是简单闭曲线，分别记为Γ1和Γ2.由定理所给的条件，f（z）在Γk（k=1，2）上及其内部解析，由定理3.3.1得
两式相加（抵消割线段上的积分），得
即
注意 ①n=1时，
，这说明在区域的解析函数沿闭曲线的积分不因闭曲线在区域内作（不经过被积函数的奇点）连续变形而改变积分的值，这一重要性质称为闭路变形原理.
例如，本章的例3.2.1中，当曲线C是以z0为中心的正向圆周时，
所以由闭路变形原理可知，对于包含z0的任何一条正向简单闭曲线C，都有
图3.3.4
②利用闭路变形原理可以把函数沿各种不规则的简单闭曲线的积分化简为沿特殊圆周上的积分来计算.
【例3.3.3】 计算
的值，C为包含圆周|z|=1在内的任何正向简单闭曲线.
解 设C1及C2分别是C内以被积函数的两个奇点z=0和z=1为圆心的两个互不相交也互不包含的正向圆周（图3.3.4），那么
若用闭路变形原理解答此题，则有
