3.2　复函数积分的概念和性质

一元实函数的定积分是某种确定形式的积分和的极限.把这种积分和极限的概念推广到定义在复平面内一条有向曲线上的复函数情形，便得到复函数积分的概念.

3.2.1　复函数积分的定义

定义3.2.1　设C是复平面内可求长的光滑（或逐段光滑）的有向曲线段，其起点为，终点为，函数在C上处处有定义.把曲线C任意分成个小弧段，记分点为

在每个小弧段上任取一点（图3.2.1），并作和式

其中，记为的长度，，当时，如果对曲线C的任意分法及的任意取法，上述和式的极限都存在且相等，则称函数沿曲线C可积，且称此极限值为函数沿曲线C的积分，记作

　　　（3.2.1）

其中C称为积分路径，为被积函数，为积分变量.若C为闭曲线，积分可记为

3.2.2　复函数积分存在的条件及其计算公式

我们知道实函数积分存在的充分条件是其被积函数在积分区间上连续，那么，对复函数的积分是否也有类似的结论呢？为此我们从复函数积分的定义出发进行讨论.

设，

于是

根据复数列极限与实数列极限的关系定理知：

存在的充要条件是和都存在.再由二元实函数对坐标的曲线积分定义知

于是得

定理3.2.1（复函数积分与实函数积分的关系定理）　复函数沿有向曲线C可积的充要条件是式（3.2.2）右端的两个对坐标的曲线积分都存在，且有

　　　（3.2.2）

根据二元实函数对坐标的曲线积分存在的充分条件及函数连续的充要条件可得复函数积分存在的充分条件.

推论（复函数积分存在的充分条件）　若函数在光滑或逐段光滑的有向曲线段C上连续，则沿曲线C可积.

如果有向光滑曲线C由参数方程给出，起点和终点分别对应着参数和，且，则有向光滑曲线C上参数从变到，记作.规定参数增加的方向为C的正方向，于是由曲线积分的计算方法可将计算式（3.2.2）化为更简单的形式.即

　　　（3.2.3）

【例3.2.1】　设C为正向圆周，为整数，试证

　　　（3.2.4）

证　由题设知C的参数方程为，参数，则有

，

于是

当时，；当n≠0时，

注意　本题结果在后面的积分计算中经常用到，可作为积分公式使用，它的特点是积分结果与积分路径圆周的中心及半径无关.

3.2.3　复函数积分的性质

利用复函数积分的定义可以推出下列与一元实函数定积分类似的性质.

若复函数和沿其积分路径C可积，则有

①沿C的反向曲线可积，且

②对任意复常数，函数沿C可积，且

③沿C可积，且

④（复函数积分对积分路径的可加性）设曲线C是由光滑曲线依次连接而成的分段光滑曲线，沿可积，则

⑤（积分的估值性质）设曲线C的长度为，在曲线C上处处有|f（z）|≤M，则有

【例3.2.2】　用性质⑤估计的值.

解　在圆周上有

又圆周的长度，于是由性质⑤得

【例3.2.3】　计算积分，其中曲线C为：

（1）从原点至2+i的直线段；

（2）从原点沿实轴至2，再由2垂直向上至2+i；

（3）从原点沿虚轴至i，再由i沿水平方向向右至2+i.

解　（1）直线段C复参数方程为，参数，，，于是

（2）设从原点沿实轴至2的直线段为C1，其复参数方程为z=x，参数x：0|→2，dz=dx；由2垂直向上至2+i的直线段为C2，其复参数方程为z=2+iy，参数y：0|→1，dz=idy.于是

（3）设从原点沿虚轴至i的直线段为C1，其复参数方程为z=iy，参数y：0|→1，dz=idy；由i沿水平方向向右至2+i的直线段为C2，其复参数方程为z=x+i，参数x：0|→2，dz=dx.于是

【例3.2.4】　计算积分，其中曲线C为：

（1）从点A（0，1）到点B（1，2）的抛物线y=x2+1［图3.2.2（a）］；

（2）从点A（0，1）到点N（1，1）再到点B（1，2）的折线段ANB［图3.2.2（b）］.

解　（1）抛物线y=x2+1的复参数方程为z=x+i（x2+1），参数x：0|→1，z=x-i（x2+1），dz=（1+2xi）dx，于是

（2）线段的复参数方程为z=x+i，参数x∶0|→1；线段的复参数方程为z=1+iy，参数y∶1|→2，所以

从以上两个例子可以看出，函数f（z）=z的积分与积分路径无关，而函数f（z）=（）2的积分与积分路径有关.那么，在什么条件下复变函数的积分与积分路径无关呢？这正是下一节要讨论的问题.