2.2　函数解析的充要条件

由于解析函数是复变函数研究的主要对象，所以如何判别一个函数是否解析是十分必要的，但如果只根据定义判断函数的解析性往往是困难的. 因此，需要寻找判定函数解析的简便方法.

设函数w=f（z）=u（x，y）+iv（x，y）在区域D内解析，从而它在D内任一点z=x+iy可导.由式（2.1.4）可知：对充分小的|Δz|=|Δx+iΔy|>0，有

Δw=f（z+Δz）-f（z）=f'（z）Δz+ρ（Δz）Δz，

其中

令

f'（z）=a+ib，　Δz=Δx+iΔy，　Δw=Δu+iΔv，　ρ（Δz）=ρ1+iρ2，

则

由两个复数相等的条件知

　　　

（2.2.1）

又当Δz→0时，ρ（Δz）→0等价于Δx→0，Δy→0时，ρ1→0，ρ2→0，即ρ1Δx-ρ2Δy和ρ2Δx+ρ1Δy是比更高阶的无穷小.

由二元实函数微分的定义知，等式组（2.2.1）等价于函数u（x，y）和v（x，y）在点（x，y）可微，且在该点处有

这便是函数f（z）=u（x，y）+iv（x，y）在区域D内解析的必要条件.

方程        

　　　（2.2.2）

称为柯西-黎曼（Cauch-Riemann）方程（简称C-R方程）.

事实上，这个条件也是充分的，于是有.

定理2.2.1　复变函数f（z）=u（x，y）+iv（x，y）在区域D内解析的充要条件是二元实函数u（x，y）和v（x，y）在D内任一点z=x+iy可微且满足柯西-黎曼方程

证　必要性上面已经证明，下证充分性.

由u（x，y）和v（x，y）在D内任一点z=x+iy可微，可知

这里

因此

根据柯西-黎曼方程

有

或

因为，故当Δz趋于零时，上式右端最后两项都趋于零.

于是

即f（z）在D内任一点可导，因而它在D内解析.

由上述证明过程可以看出：

①f（z）在D内任一点z=x+iy处的导数

　　　（2.2.3）

②函数f（z）在D内某一点z0=x0+iy0处可导的充要条件是u（x，y），v（x，y）在点z0=x0+iy0可微且满足柯西-黎曼方程.

由此可见，上述定理不仅提供了判断函数f（z）在区域内是否解析（或在某一点是否可导）的常用方法，而且给出了一个简捷的导数公式（2.2.3）.

【例2.2.1】　试证f（z）=ex（cosy+isiny）在复平面内解析，且f'（z）=f（z）.

证　因为u（x，y）=excosy，v（x，y）=exsiny，

显然四个一阶偏导数在复平面内处处连续，从而u（x，y）和v（x，y）处处可微且满足柯西-黎曼方程，所以f（z）在复平面内解析，并且

该函数的特点是它在整个复平面内解析且其导数等于它自身.事实上，这一函数就是下节将要介绍的复变函数中的指数函数.

【例2.2.2】　判别函数f（z）=x3-i（y3-3y）在哪些点可导，在哪些点解析.

解　因为u（x，y）=x3 ，　v（x，y）=-y3+3y，

显然四个一阶偏导数在复平面内处处连续，从而u（x，y）和v（x，y）处处可微，但柯西-黎曼方程仅在x2+y2=1上成立，所以f（z）仅在圆周x2+y2=1上可导，从而f（z）在整个复平面上处处不解析.

【例2.2.3】　试证明函数f（z）=zRe（z）仅在点z=0可导，并求f'（0）.

证　因为f（z）=（x+iy）x=x2+ixy，即

u（x，y）=x2 ，　v（x，y）=xy，

显然u（x，y）和v（x，y）在复平面上处处可微，但柯西-黎曼方程仅在z=0处成立，所以f（z）=zRe（z）仅在点z=0可导.且有

f'（0）=ux（0，0）+ivx（0，0）=0.

事实上，该题的结论也可用导数的定义求证，留给读者练习.

【例2.2.4】　设函数f（z）=u（x，y）+iv（x，y）在区域D内解析且处处有f'（z）=0，试证明f（z）在D内为复常数.

证　由f（z）=u（x，y）+iv（x，y）在区域D内解析有，在区域D内任一点z=x+iy处

ux=vy，uy=-vx且f'（z）=ux+ivx=vy-iuy=0，

于是，在D内恒有ux=uy=0，vx=vy=0，即u（x，y）和v（x，y）在D内均为常数，故f（z）在D内为复常数.