2.1　解析函数的概念

2.1.1　复变函数的导数与微分

（1）导数的定义

复变函数的导数定义在叙述形式上与一元实函数相同，即

定义2.1.1　设函数w=f（z）在点z0的某个邻域Nδ（z0）内有定义，且z0+Δz∈Nδ（z0），若极限

存在，则称f（z）在点z0可导，并称此极限值为f（z）在z0点的导数，记作

否则，称f（z）在z0点不可导或导数不存在.于是有

　　　（2.1.1）

或        

　　　（2.1.2）

如果f（z）在区域D内处处可导，则称f（z）在D内可导.

【例2.1.1】　求f（z）=zn（n为正整数）的导数.

解　因为

所以

f'（z）=nzn-1 .

【例2.1.2】　证明在z平面上处处不可导.

证　对z平面上任意一点z，

当z+Δz沿水平（Δy=0）趋于z时上式极限为1；当z+Δz沿竖直（Δx=0）趋于z时上式极限为-1，所以不存在，即在z平面上处处不可导（图2.1.1）.

显然在z平面上处处连续的，故复函数的连续性不能保证它的可导性.

【例2.1.3】　若函数w=f（z）在z0可导，试证f（z）在z0点连续.

证　由于

所以f（z）在z0点连续.

（2）可导与连续之间的关系

由例2.1.3和例2.1.2易知可导与连续之间的关系：函数在一点可导必在该点连续，函数在一点连续未必在该点可导.

（3）求导法则

因为复变函数的极限运算法则也和一元实函数的极限运算法则一样，所以利用导数的定义容易证明下列求导法则：

①［f（z）±g（z）］'=f'（z）±g'（z）；

②［f（z）g（z）］'=f'（z）g（z）+f（z）g'（z）；

③；

④{f［g（z）］}'=f'（w）g'（z），其中w=g（z）；

⑤，其中w=f（z）与z=φ（w）是两个互为反函数的单值函数，且φ'（w）≠0.

（4）微分的定义

由导数的定义2.1.1知，函数w=f（z）在点z0可导等价于

　　　　　　（2.1.3）

或

Δw=f（z0+Δz）-f（z0）=f'（z0）Δz+ρ（Δz）Δz.　　　（2.1.4）

上式中f'（z0）Δz是函数改变量Δw的线性主部，而|ρ（Δz）Δz|是|Δz|的高阶无穷小.于是同一元实函数微分的定义类似，有下面定义.

定义2.1.2　设函数w=f（z）在点z0处有导数f'（z0），则称f'（z0）Δz为函数w=f（z）在点z0处的微分，记作

　

　　（2.1.5）

这时也称函数w=f（z）在点z0处可微.

如果f（z）在区域D内的任意一点z处可微，则称f（z）在D内可微.

特别地，当f（z）=z时，由式（2.1.5）得dz=Δz，于是有

即

由此可见，函数w=f（z）在z0点可导与可微是等价的.

2.1.2　解析函数的概念

（1）解析函数的定义

在很多理论和实际问题中，需要研究的不是只在个别点可导的函数，而是在某个区域内处处可导的函数，即解析函数.

定义2.1.3　若函数f（z）在点z0的某个邻域内（包含点z0）处处可导，则称f（z）在点z0解析，也称它在该点全纯或正则.当f（z）在区域D内每一点都解析时，简称它在D内解析，或称f（z）是D内的解析函数.

若函数f（z）在点z0不解析，则称z0为f（z）的奇点.

【例2.1.4】　讨论函数的解析性.

解　利用导数定义，当z≠0时，

即f（z）在复平面上除去点z=0的区域内处处可导，因而解析.但在点z=0处，f（z）无定义，当然不可导，所以z=0是的奇点.

根据复变函数的求导法则，不难证明.

定理2.1.1　在区域D内解析的两个函数的和、差、积、商（除分母为零的点）仍在D内解析.解析函数的复合函数仍然是解析函数.

由此定理可知，所有z的多项式在复平面内是处处解析的；任何一个有理分式函数P（z）/Q（z）　［P（z），Q（z）为多项式］除去使Q（z）=0的点外处处解析.

（2）函数解析与可导之间的关系

由定义2.1.3可知，函数在一点处解析和在一点处可导是两个不同的概念.函数的解析点必是它的可导点，反之则不然.但是函数在某区域内解析与在该区域内处处可导是等价的，因而，例2.1.1中的f（z）=zn（n为正整数）在整个复平面上解析，而例2.1.2中的却处处不解析.