9.7 超函数

这个例子只是一个很特殊的情形，但它向我们示范了一般必须经历的过程步骤。我们要问，能够定义在单位圆上（黎曼球面上）并能够表示成开区间上的全纯函数F+和F－的“和”的最一般的函数形式是什么？这里F+定义在单位圆一侧的开区间上，F－定义在单位圆的另一侧的开区间上，恰如我们上面所给的例子中的情形。我们发现，这个问题的答案将直接导致一个古怪但重要的概念——“超函数”。

实际上，将f看成是F－和－F+之间的“差”将更富于启发性。这么做的一个理由是，在最一般的情形下，对实际单位圆来说，F－或F+可能都不存在解析扩展，因此在圆上这种“和”意味着什么并不清楚。但是，我们可以将F－和－F+之间的差视为这两个函数间“跳跃”的表示，此时它们的定义域已在单位圆上合二为一。

复平面上曲线一侧的全纯函数与另一侧的另一个全纯函数之间“跳跃”的这一思想——这里的两个全纯函数都无需全纯地扩展过曲线本身——实际上为我们提供了一种全新的定义在曲线上的“函数”概念。这就是（解析）曲线上超函数的定义。这是由日本数学家佐藤干夫（Sato Mikio，1926～）〔1〕于1958年提出的一个绝妙的概念。[9]不久我们就会看到，佐藤实际的定义比这里用的更加优美。[10]

对于超函数的定义，我们不必考虑像完整的单位圆那样的闭曲线，而是考虑曲线的某一段即可。更经常的是将超函数定义在某段实线段γ上。我们将γ看成是a和b之间的实线段，这里a和b都是实数且有a＜b。于是，定义在γ上的一个超函数是横越γ的跳跃，它从开集R－（以γ为上界）上的全纯函数f到开集R+（以γ为下界）上的全纯函数g，见图9.13。

像这样简单地称它为“跳跃”并没有使我们了解多少这是怎么回事（数学上也很不严谨）。佐藤对这个问题的处理相当完美，他采用的是异常简洁的形式化的代数方法。我们可以用这两个全纯函数对（f，g）来表示这一跳跃。我们说这样的一个对（f，g）等价于另一个对（f0，g0），如果后者是通过在f和g上加上同一个全纯函数h而得到的话，这里h定义在由R－和R+沿曲线段γ联合组成的（开）区域R上，见图9.14。我们可以说

（f，g）等价于（f+h，g+h），

这里全纯函数f和g分别定义在R－和R+上，h为联合区域R上任意全纯函数。这两个表达式都可以用来表示同一个超函数。在数学上，超函数本身指的是这种对的等价类，“约化模”[11]定义在R上的全纯函数h。读者可以回顾一下序言里提到的与分数定义相关联的“等价类”的概念。它与这里所用的一样都是一般性概念。现在的关键是，增加h虽不影响f和g之间的“跳跃”，但h能以与这种跳跃无关的方式改变f和g。（例如，h能够改变这些函数偶尔出现的持续离开γ进入开区域R－和R+。）因此，跳跃本身可由这个等价类来表示。

读者可能真的被搞糊涂了。这种巧妙的定义似乎主要取决于我们对开区域R－和R+的任意选择，仅有的限制是它们得有共同的边界线γ。但令人惊奇的是，超函数的定义并不依赖于这种选择。按照所谓的切除定理，实际上这种超函数概念在很大程度上独立于R－和R+的具体选择，见图9.15的前3个例子。

事实上，切除定理给予我们的比这更多。我们不要求开区域R上被可移除的γ分成两部分（即R－和R+）。我们所需的是，复平面上开区域R必须包含开线段[12]γ。R－γ（即去掉γ后R所剩余的部分[13]）似乎是由两个分离部分组成，恰如我们上面一直在考虑的，但更一般的是，从R中去掉γ后留下的是一个单个连通的区域，如图9.15的后3个例子所示。在这些情形下，我们必须去掉γ的内端点a或b，这样，我们就只有一个开集，我称它为R－。在这种更一般的情形下，超函数定义为“R上的全纯函数，约化模R－上全纯函数”。一个明显的事实是，R的这种非常自由的选择对由此定义的“超函数”类没有任何影响。*〔9.12〕a和b都处于R内的情形对超函数的积分是有用的，因为这样的话我们可用R－内的闭周线。

所有这些都可以用到我们先前的黎曼球面上圆的情形。这时取R为整个黎曼球面较为有利，因为这时我们必须“取模”的函数是在整个黎曼球面上具有全局性的全纯函数，有一条定理是说，这些函数都只是常数。（实际上这些“常数”就是我们在§9.2里的α0。）因此，一个定义在黎曼球面的圆上模常数的全纯函数可具体化为这个圆一侧全区域上的全纯函数和另一侧的另一个全纯函数。这给出了一种将圆上一个任意超函数唯一地剖分（模常数）成其正/负频率分量的方法。

作为结束，我们来考虑超函数的一些基本性质。我用符号（｜f，g｜）来表示由分别全纯定义在R－和R+上的函数对f和g给出的超函数（这里我将γ划分R成R－和R+的情形颠倒了过来）。因此，如果我们对同一个超函数有两个不同的表示（｜f，g｜）和（｜f0，g0｜），就是说，（｜f，g｜）=（｜f0，g0｜），那么f－f0和g－g0是两个相同的定义在R上的全纯函数h，但它们分别被约束在R－和R+。我们可以直接给出这两个超函数的和、导数和一个超函数与定义在γ上的解析函数q的积：

这里，在最后这个表达式中，解析函数q被全纯扩展到γ的一个邻域。[14]，**〔9.13〕我们可将q本身表示成一个超函数q=（｜q，0｜）=（｜0，－q｜），但一般没有定义在两个超函数之间的的积。不存在积并非超函数成为广义函数的缺陷。这里可有多种处理。[15]例如，狄拉克的δ函数（见§6.6）不能够平方就曾使许多量子场论学家陷入无尽的烦恼。

在γ=R，在R－和R+分别是上、下开复半平面的情形下，超函数表示的一些简单的例子可举出赫维塞德阶梯函数θ（x）和狄拉克（－赫维塞德）δ函数δ（x）（=dθ（x）/dx）（§§6.1，6）：

这里我们取对数分支log1=0。超函数（｜f，g｜）在整个实线上的积分可由f沿紧邻实线下方的环线的积分减去g沿紧邻实线上方的环线积分来表示（假定二者均收敛），方向均为从左到右。**〔9.14〕注意，甚至当f和g是同一函数的解析延拓时，这个超函数仍可以是非平凡的。

超函数有多一般？它们肯定包含所有的解析函数，还包括像θ（x）和我们前面讨论的方波那样的不连续函数，或其他通过这类函数叠加所得到的C－1函数。实际上，所有C－1函数都是超函数的例子。此外，由于我们可通过对超函数进行微分来得到另一个超函数，而且任意C－2函数都可以由C－1函数的微分得到，因此所有C－2函数也都是超函数。我们已经看到，超函数包含狄拉克δ函数。我们可以不断地微分。这样，对任意整数n，任何C－n函数都是一个超函数。至于C－∞函数，也就是分布函数（§6.6），情形又如何呢？是的，它们仍然全都是超函数。

通常，分布函数是作为所谓C∞光滑函数的对偶空间的元素来定义的。[16]“对偶空间”的概念将在§12.3（和§13.6）里描述。实际上，对任意整数n，Cn函数空间的对偶（在适当意义下）就是C－2－n函数空间，这里n可以取到无穷，n=∞，如果我们有－2－∞=－∞和－2+∞=∞的话。相应地，C－∞函数与C∞函数对偶。那么Cω函数的对偶（C－ω）是怎样的呢？经过对“对偶”的适当定义，这些C－ω函数同样是超函数！

我们已经转了一圈。为了尽可能使“函数”概念一般化，使之摆脱“解析”或“全纯”函数——让欧拉满意的那种函数——概念的限制，我们已领略了极其一般和灵活的超函数概念。但超函数本身又是以非常简单的方式定义在“欧拉”全纯函数概念基础上的。在我看来，这是复数最为神奇的成功的一个方面。欧拉要是能活着看到这一点那该多好！