注释

§9.1

[9.1]这里我用希腊字母χ而不用普通的似乎更自然的x，只是因为我们需要将这个变量与复数z的实部x区别开来，后者在下述内容中扮演着重要角色。

[9.2] 对实变量χ，就是说，对取实数的an，bn和c，我们并不要求f（χ）一定要是实的。实变量的复函数在数学上是完全合法的。f（χ）是实的的条件是α－n是αn的复共轭。复共轭概念将在§10.1介绍。

§9.2

[9.3]用“F－”表示正幂级数部分而用“F+”表示负幂级数部分，这种看似反常的记号法主要源于量子力学文献的习惯约定（见§§21.2，3和§24.3）。对此我只能说抱歉，但这不影响我对它的正确使用。

[9.4]这是一个一般性的准则：对定义在实域R上的任意Cω函数f，我们可以“复化”R来扩展到复域CR，它称为R的“复加厚”。它将R包含在其内部，使得f唯一地扩展为CR上的全纯函数。

[9.5]例如见Bailey et al.（1982）。

§9.4

[9.6]另一方面，通常要求，当χ趋于正负无穷大时，f（χ）的行为“合理”。我们在这里不必关注这一点，就我采用的方式来说，这一要求不必是限定性的。

[9.7]在量子力学里，通常还引入另一个常量ħ来适当确定在与x关系中的p的标长（见§§21.2，11），但眼下为简单计，我取ħ=1。ħ是普朗克常数的狄拉克形式（即h/2π，这里h是原始的普朗克“作用量子”）。经过适当定义基本单位，我们总可以取ħ=1。见§27.10。

§9.5

[9.8]见Bailey et al.（1982）。

§9.7

[9.9]见Sato（1958，1959，1960）。

[9.10]亦见Bremermann（1965），尽管在这一工作中并未明确指明使用“超函数”。

[9.11]“modulo（模）”概念的另一方面内容将在§16.1讨论（并请与注释3.17比较）。

[9.12]这里“开端”是指端点a和b都不包含在γ内，因此“包含”γ并不意味着R内包含a和b。

[9.13]这种集R与γ之间的“差”通常也写成R＼γ。

[9.14]“…的邻域”的数学定义是“包含…的开集”。

[9.15]“一般化函数”概念的更标准的（“分布”）处理见Schwartz（1966）；Friedlander（1982）；Gel'fand and Shilov（1964）；Trèves（1967）。对于“非线性”方面非常有用的另一种处理，它将“积的存在性问题”转换为“非唯一性问题”，见Colombeau（1983，1985）和Grosser et al.（2001）。

[9.16]超函数与§33.9将要讨论的全纯层上同调之间也存在重要的相互联系。这些概念在高维曲面上的超函数理论中扮演着重要角色，见Sato（1959，1960）以及Harvey（1966）。

*〔9.1〕证明这一点。

**〔9.2〕证明：若F在单位圆上是解析的，则系数αn从而an，bn和cn可由公式αn=（2πi）－1∮z－n－1F（z）dz获得。

**〔9.3〕你能看出为什么吗？

**〔9.4〕这些映射中哪些是显映射？

**〔9.5〕证明：这个式子给出与上面给出的相同的t。

***〔9.6〕概要说明，如何利用练习［9.2］的周线积分表达式αn=（2πi）－1∮z－n－1F（z）dz的极限形式从f（χ）得到g（p）？

**〔9.7〕导出这个表达式。

*〔9.8〕证明这个表达式。

**〔9.9〕利用§7.4末尾给出的logz在z=0处的幂级数展开式，证明这个表达式。

*〔9.10〕证明这个式子（假定｜s（χ）｜＜3π/2）。

**〔9.11〕证明这个式子。

〔1〕2003年，与美国数学家泰特（John T．Tato）一起荣获2002/2003年度沃尔夫数学奖。——译者

*〔9.12〕当R－分为R－和R+两部分时，为什么“R上约化模R－上全纯函数的全纯函数”就成了我们先前所给出的超函数的定义？

**〔9.13〕这里有一些细微差别，请找出来。提示：仔细考虑有关定义域。

**〔9.14〕就q（x）为解析的情形，检查∫q（x）δ（x）dx=q（0）中δ函数的标准性质。