9.6 哪种函数是适当的？

现在让我们回到本章开头提出的关于适当可用的“函数”种类的问题上来。我们可以提出如下问题：哪一种函数可用来表示傅里叶变换？将注意力仅限定在解析（即Cω）函数上是不恰当的，因为如我们上面所见，正频率函数f（χ）——它当然是解析的了——的傅里叶变换g（p）显然是一种从非零函数到零函数的非解析“粘合”的结果。一个函数和它的傅里叶变换之间是对称的，因此采用这样一种非标准形式似乎不合道理。另外还应当指出，f（χ）在点χ=∞的行为关系到正/负频率剖分，而且只有在相当特殊的场合下f（χ）在∞才是（Cω）解析的（因为这要求f（χ）在χ→+∞和χ→－∞之间严格匹配）。除此之外，我们还不能忽略当初研究傅里叶变换的物理动机，即这种变换应使我们能够处理那种传递“不曾预料的”（非解析）信息的信号。因此，我们必须回到本章开头我们所面临的问题上来：我们应当采用哪一种函数作为“实在”函数？

一方面我们知道，欧拉和他的同时代人可能满足于将一个全纯（或解析）函数当作他们心仪的那种“函数”；而另一方面，这些函数对许多数学和物理方面的问题，包括波传播的问题，显得无能为力，因此函数概念必须向更一般的意义上拓展。这些观点中哪一个更“正确”呢？普遍存在这样一种看法，认为第一种观点的支持者都是些“老古董”，那些摩登的概念肯定都偏向于第二种观点，因此全纯或解析函数只是一般的“函数”概念里一种非常特殊的情形。但这就是我们必须采取的“正确”态度吗？让我们试着用18世纪的思想框架来思考这一问题。

图9.11 不连续周期函数（具有完全看似合理的傅里叶表示）：（a）方波，（b）锯齿波。

先看19世纪初的约瑟夫·傅里叶是怎么做的。在傅里叶向人们展示说某些周期函数，像图9.11描述的方波或锯齿波，具有完全看似合理的傅里叶表示时，那些属于“解析”（欧拉）学派的老学究们一定吃惊不小！当时傅里叶遇到了来自数学传统势力的一片反对之声。很多人不愿接受他的结论。例如，方波函数怎么可以用一个“公式”来表示？但正如傅里叶展示的，级数

这个和实际上就是一种方波，这种方波是一种在两个常数和之间的半周期为π的振荡（图9.12）。

图9.12 傅里叶级数s（χ）=+…的部分和，收敛到一个（像图9.11（a）的）方波。

让我们看看上述图形如何用洛朗级数来表示。我们有相当漂亮的表达式*〔9.8〕

这里z=eiχ。事实上，这只是一个收敛圆环退缩为单位圆（未留下开区域）的例子。但我们仍可以根据全纯函数对此予以解释，如果我们将洛朗级数分成两部分，一部分具有正幂，给出普通的z的幂级数；另一部分具有负幂，给出z－1的幂级数。实际上它们都是已知的级数，可直接求和：**〔9.9〕

和

由此给出2is（χ）=S－+S+。稍许重排这些表达式即可导出结论：S－和－S+只差iπ。由此可知s（χ）=π。*〔9.10〕但我们还需要进一步了解为什么我们实际得到的是一个量在不同值之间的方波振荡。

如果我们作§8.3给出的变换t=（z－1）/（iz+i），会使我们欣赏接下来要发生的事变得更容易些。这个变换将z平面上单位圆的内部变换成t平面的上半平面（如图8.8所示）。对t来说，量S－现在是指上半平面，S+指下半平面，我们发现（对数里可能会差个2πi）

接下来对数从相应的起始点t=i（这时S－=0）和t=－i（这时S+=0）开始连续地取值，我们发现，沿正实t－轴有S－+S+=，而沿负实t轴有S－+S+=。**〔9.11〕由此我们得到结论，沿z平面上单位圆的上半部分有s（χ）=，而沿其下半部分我们有s（χ）=。这说明，正如傅里叶所断言的，傅里叶级数确实加和到方波。

从这个例子我们得到了什么教训呢？我们已看到，一个特定的（周期）函数，它甚至不是连续的，更甭说可微了（在C－1函数意义上），能够被表示成完全合理的傅里叶级数。同样，当我们将一个函数看成是定义在单位圆上，那么它就一定能够用看起来合理的洛朗级数表示出来，虽然这个级数的收敛圆环事实上已经退缩为单位圆本身。这个洛朗级数的正半部分和负半部分各自加和成为半黎曼球面上的完美的全纯函数。一个定义在单位圆的一侧，另一个定义在另一侧。我们可将这两个函数的“和”看成是单位圆本身给出的所要求的方波。正是因为在单位圆的z=±1的两点上存在分支奇点，才使得这个和可以从一侧“跳到”另一侧，给出以这个和的形式出现的方波。这些分支奇点还使得两侧的幂级数在单位圆外不收敛。