8.2 共形映射
有了流形之后，我们来考虑从一个拼块到另一个拼块的过渡过程中哪些局域结构得以保留。通常我们讨论的是实流形，各种不同的拼块都是（固定维）欧几里得空间的一部分，它们沿不同的（开）重合区域粘合成一个整体。相邻拼块的局域结构之间的匹配通常只是一个如何保持连续或光滑的问题。我们到§10.2再来讨论这个问题。但在黎曼曲面情形，我们关心的是复光滑，由§7.1我们知道，这是一个更为复杂的问题，涉及柯西－黎曼方程。虽然我们还未直接与它打过交道（我们在§10.5讨论这个问题），但不妨先了解一下这个方程所含结构的几何意义。这个结构非常完美、非常灵活和有力，它引出了具有广泛应用的数学概念。
这个概念就是共形几何概念。大致上说，在共形几何里，我们感兴趣的是形状而不是大小，这里指的是无限小尺度下的形状。在从一个（开）平面区域到另一个（开）平面区域的共形映射下，有限大小的形状通常是要变形的，但无限小的形状则保持不变。我们认为这种性质可以用到平面上的小（无限小的）圆上。在共形映射下，这些小圆可扩张也可收缩，但不会变形成小椭圆。见图8.4。
图8.4 在共形映射下，小（无限小的）圆可扩张也可收缩，但不会变形成小椭圆。
为了加深对共形变换的理解，我们来看图2.11给出的埃舍尔的画，它提供了一种如§2.4所述的欧几里得平面下双曲平面的共形表示（贝尔特拉米的“庞加莱圆盘”）。双曲平面是非常对称的。特别是存在这样的变换，它将埃舍尔画的中心部分变换到紧靠约束圆内侧的相应的狭窄部分。我们可以把这种变换表示成取约束圆内部到自身的欧几里得平面的共形移动。显然，这样一种变换通常不保持单个图形的大小（因为中间部分远大于边缘部分），但形状大致可保持不变。当每个图形的细节取得越小，这种保形性就越精确，因此无限小形状就得以完全保持不变。读者或许会发现，有一种略微不同的特性更有用：共性变换下不变的曲线间夹角。它刻画了变换的共形本质。
对于某些函数f（z）的复光滑（全纯）性，这种共形性质能作什么呢？我们试试看如何得到复光滑几何内容的直观图像。让我们回到函数f的“映射”观点，将关系w=f（z）看成是一种z复平面（函数f的定义域）到w复平面（值域）的映射，见图8.5。我们要问：什么样的局部几何性质能够将映射塑造成全纯的？答案令人称奇。f的全纯性实际上等价于共形且非反射的映射（非反射——或保定向——是指变换中保形的小块形状不是反射的，即不是“颠倒的”，见§12.6）。
图8.5 映射w=f（z）分别在z复平面有开区域的定义域，在w复平面有开区域的值域。函数f的全纯性等价于这种共形且非反射的映射。
w=f（z）变换中的“光滑”概念是指在无限小极限情形下变换是如何操作的。先考虑实数情形，我们再回到§6.2的实函数f（x）情形，见图6.4的y=f（x）的图。如果函数图在某一点有明确定义的切线，则函数f在该点上是光滑的。我们可以通过想象来画这条切线：将过该点的曲线逐步放大，只要它是光滑的，那么随着放大倍数逐渐提高，过该点的曲线就会越来越像直线，最后在无穷大放大倍数的极限下它就等效为切线。复光滑的情形类似，只是需要把这一思想应用到从z复平面到w复平面的映射上。为了检验这种映射的无穷小性质，我们在一个平面上画出点z的紧邻域，并将它映射到另一个平面上w的紧邻域。而要检验点的这种紧邻域性质，我们想象用一个巨大的系数分别将z和w的邻域放大，在极限情形下，从z的扩充邻域到w的扩充邻域的映射就变成了简单的平面线性变换，但如果它是全纯的，那么这种变换基本上就是§5.1所研究的变换之一。由此可知，在一般情形下，从z的邻域到w的邻域的变换可简单地看成是一种带均匀扩充（或收缩）的转动，见图5.2（b）。也就是说，小的形状（或夹角）是不变的，而且没有反射，这说明这种映射确实是共形且非反射的。
我们来看几个例子。映射的特例之一是如§5.1所示的使z加上一个常数b或乘上一个常数a（图5.2），它们显然不仅是全纯的（z+b和az显然都是可微的），也是共形的。这些是一般组合（非齐次线性）变换
w=az+b
的特例。这种变换给出平面的欧几里得运动（非反射）与均匀扩张（或收缩）的组合。事实上，它们是唯一的全复z平面到全复w平面的（非反射）共形映射。除此之外，它们还具有实际圆——不止是无限小圆——映射到实际圆，以及直线映射到直线的非常特殊的性质。
另一种简单全纯函数是互反函数
w=z－1，
它把去掉原点的复平面映射到去掉原点的复平面。神奇的是，这种变换也把实际圆映射到实际圆**〔8.4〕（这里我们认为直线是一种特殊的圆——即半径无穷大的圆）。这个变换与实轴的反射合在一起，就构成所谓的反演。而将它与前面考虑的非齐次线性映射相结合，则得到更一般的变换*〔8.5〕
它称作双线性或默比乌斯变换。由前面所述，这些变换也必定将圆映射为圆（直线看作是圆的一种特殊情形）。这个默比乌斯变换实际上将去掉点－d/c的整个复平面映射到去掉点a/c的整个复平面——作为完全非平庸映射的变换，我们要求ad≠bc（分子不是分母的固定倍数）。
注意，从z平面去掉的点其值（z=－d/c）将给出“w=∞”；相应地，从w平面去掉的点其值（w=a/c）将给出“z=∞”。实际上，如果我们将“∞”包括进定义域和值域，那么整个变换将更具总体意义。这就是关于最简单（紧）黎曼曲面——黎曼球面的一种思考方法。