8.3 黎曼球面

简单地将额外的点“∞”结合到复平面并不能使∞的邻域是否满足无缝结构要求这一问题得到彻底解决，对出现在其他地方的奇点同样如此。我们处理这个问题的方法，是将球面看作是由两个“坐标拼块”拼合而成的，一个是z平面，另一个是w平面。除两点外，整个球面划分为z坐标和w坐标（经由默比乌斯变换而关联）。而这两个点中，一个只有z坐标（此处w是“无穷远”），另一个只有w坐标（此处z是“无穷远”）。我们用z或w或同时用二者来定义所需的共形结构，这里同时用二者得到的共形结构与使用其中一种得到的是一样的，因为两坐标间关系是全纯的。

事实上，在z和w之间，我们不需要像一般默比乌斯变换那样复杂的变换。考虑下述这种特别简单的默比乌斯变换就已足够：

这里z=0和w=0都给出对方拼块上的∞。我在图8.6说明了这个变换如何映射z的实轴和虚轴。

所有这些以一种相当抽象的方式定义了黎曼球面。通过图8.7（a）所示的几何，我们可以更清楚地看出为什么黎曼球面被称为“球面”。我取z平面来表示这个几何球面的赤道面。球面上的点通过由南极发出的所谓球极平面投影被映射到这个赤道面上。这好比我从南极经赤道面上点z画一条三维空间里的直线。这条直线再次与球面相遇的地方就是复数z所代表的球面上的点。球面上有一个点，即南极点本身，他代表的是z=∞。为了看出w如何符合这一图像，我们想象它的复平面是颠倒过来的（w=1，i，－1，－i分别对应于z=1，－i，－1，i），而且球极平面投影是从北极发出的（图8.7（b））。**〔8.6〕球极平面投影的一个重要而又漂亮的性质是它把球面上的圆映射为平面上的圆（或直线）。[1]因此，在球面上，双线性（默比乌斯）变换将圆变成圆。这个显著的事实对我们将在§18.5要遇到的相对论具有重要意义（它还与旋量理论和扭量理论有着深刻联系，见§22.8，§24.7，§§33.2，4）。

图8.6 通过w=1/z，z=1/w从z复平面和w复平面拼贴黎曼球面。（这里z的网格线也显示在w－复平面上。）除了原点z=0和w=0二者互给出对方拼块上的“∞”点之外，其他区域均重叠。

图8.7 （a）作为单位球面的黎曼球面，其赤道面与（水平的）z复平面上的单位圆重合。球面上的点经南极点发出的直线被投影（按球极投影方式）到z平面上，南极点本身给出z=∞。（b）作为w平面的赤道面的再解释。它被颠倒过来，但实轴不变，球极投影现在则由北极点（w=∞）发出，这里w=1/z。（c）实轴是这个黎曼球面上的大圆，像垂直而不是水平画出的单位圆。

我们注意到，从黎曼球面的观点看，实轴实则为“另一个圆”，与单位圆没有本质的区别，只是画在了垂直方向上而不是水平方向上（图8.7（c））。通过转动我们就能由此及彼。转动是共形的，因此它可由球面到自身的全纯映射给出。实际上，取整个黎曼球面到自身的每一个（非反射）共形映射都是由双线性（默比乌斯）变换实现的，因此我们所考虑的特定转动可明确表现为双线性变换给定的两个复参数z和t的黎曼球面之间的关系**〔8.7〕

在图8.8中，我画出了t和z的复平面间的对应关系，其中特地标出了由实轴界定的t的上半平面如何被映射到由单位圆界定的z的单位圆盘。这个特殊变换对我们下一章的讨论很重要。

图8.8 t和z的复平面间的对应关系t=（z－1）/（iz+i），z=（－t+i）/（t+i）。由实轴界定的t的上半平面被映射到由单位圆界定的z的单位圆盘。

黎曼球面是最简单的紧——或者叫“闭”——黎曼曲面。[2]“紧”的概念见§12.6。相反，前面所述的对数函数的“螺旋上升的”黎曼曲面则是非紧的。对于（1－z3）1/2的黎曼曲面情形，我们需要补上分支点带来的四个洞来使它成为紧的（如果不补，它就是非紧的），这种“紧致化”就是我们通常要做的。正如早先所说的，用有限阶分支点来进行这种“填洞”工作总是可能的。在§8.1我们看到，对于对数情形，我们可以用一个单点来填原点和无穷远点两处的分支点以便得到紧的黎曼曲面。实际上，存在一种紧黎曼曲面的完全分类（黎曼本人的成就），这种分类对许多领域（包括弦论）都是重要的。下面我来简单介绍一下这种分类。