第八章 黎曼曲面和复映射

8.1 黎曼曲面概念

这里，我们给出一种理解对数函数——或其他任意“多值函数”——的解析延拓的方法，这就是基于所谓黎曼曲面的方法。黎曼的思想是将函数看成是定义在这样一种定义域上，它不是复平面的简单子集，而是一个多层区域。以log z为例，其图像就是一个绕垂直轴旋转而下直到复平面的倾斜螺旋面，见图8.1。对数函数在这个多叶螺旋复平面上是单值的，因为我们每绕原点一周，对数就增加2πi，这个值就处于上一叶的螺旋面上。这里各对数值之间不会有任何冲突，因为它的定义域是一种展开的环绕空间——黎曼曲面的一个例证——这是一种细节上不同于复平面本身的空间。

图8.1 log z的黎曼曲面，其图像是一个绕垂直轴旋转而下的倾斜螺旋面。

引入这一思想的黎曼（Bernhardt Riemann，1826～1866）是最伟大的数学家之一，在他短暂的一生里，他提出的许多数学思想深刻改变了数学的进程。在本书中，我们还将遇到他的其他一些贡献，例如作为爱因斯坦广义相对论基础的那些概念（黎曼的另一项极其重要的贡献见第7章末尾所述）。在黎曼引入我们今天称之为“黎曼曲面”这一概念之前，数学家们一直对如何处理这些所谓的“多值函数”（对数只是其中最简单的一个例子）莫衷一是。为严格起见，许多人感到有必要以某种我个人很不赞同的方式来处理这类函数。（附带说一下，我在大学里学的仍旧是这种方式，尽管这距黎曼划时代的论文发表已过去了近一个世纪。）特别是，对数函数的定义域会被从原点到无穷远拉一条线这样一种随意的方式所“割裂”。在我看来，这是对庄严的数学结构的一种粗鲁的损毁。黎曼教导我们，应当用不同的方式来处理事情。全纯函数为什么必须像普通“函数”那样，理解为固定定义域到确定值域的映射？这实在是让人很不舒服。在解析延拓中我们看到，全纯函数“自己有脑子”确定自身的定义域该是什么样，这与我们最初派分给它的复平面区域基本无关。我们可以将函数的定义域表示为与函数有关的黎曼曲面，但这个定义域不是提前给定的。正是函数本身的显形式告诉我们定义域实际用的是哪一种黎曼曲面。

不久我们还将遇到各种其他类型的黎曼曲面。这个优美的概念在现代试图找到数学物理的新的基础——主要指弦论（§§31.5，13），也包括扭量理论（§§33.2，10）——方面发挥着重要作用。事实上，log z的黎曼曲面只是这种曲面里最简单的一种。它只是提示我们其中都有什么。函数za的黎曼曲面要比log z稍有意思些，但这也只是在a为有理数时是如此。当a是无理数时，za的黎曼曲面具有和log z的一样的结构，而在a是有理数时，假设其最简形式为a=m/n，则旋转面转了n圈后将回到出发点。*〔8.1〕在所有这些例子中，原点z=0称为分支点。如果旋转面转了n圈后回到出发点（在zm/n中，m和n无公因子），我们就说这个分支点有有限阶，或称它是n阶的。如果旋转面转了任意圈仍不能回到出发点（如log z的情形），我们就称这个分支点是无穷阶的。

图8.2 （a）由两叶构建的（1－z3）1/2的黎曼曲面，它在1，ω，ω2（和∞）等处有阶数为2的分支点。（b）为了看出（1－z3）1/2的黎曼曲面是拓扑上的环面，我们将（a）的面想象成带有割缝（分别为从ω到ω2和从1到∞）的两个黎曼球面，它们沿箭头所指方向粘合起来，形成相应的拓扑柱面，最后再粘合成环面。（c）为了构建黎曼曲面（或一般流形），我们将坐标空间的拼块粘合起来——这些拼块是复平面的开区域部分。拼块之间必须存在（开集）重叠（而且在并的情形下，例如上述的最后一种情形，必须不存在“非豪斯道夫分支”，见图12.5（b）和§12.2）。

表达式（1－z3）1/2对这一思想做了更清楚的注解。这个函数有3个分支点，分别是z=1，z=ω和z=ω2（这里ω=e2πi/3，见§5.4，§7.4），故1－z3=0，另外还有一个“无穷分支点”。如果我们在每个分支点的紧邻域内绕分支点完整地转一圈（对“无穷分支点”，这意味着要绕一个大圈），会发现函数改变了正负号，再绕一圈，函数值又变回原初的值。因此我们看到，所有分支点都是2阶的。我们有两叶来构成黎曼曲面，它们按图8.2（a）所示的方式粘合起来。在图8.2（b）里，我采用某种拓扑弯曲来说明黎曼曲面实际上是一种环面拓扑结构，就像环状面包圈，只是多了4个小洞，它们对应于4个分支点本身。实际上，这些洞可以（用4个单点）毫不含糊地填补起来，这样黎曼曲面就有了严格的环面拓扑。**〔8.2〕

黎曼曲面是一般流形概念的第一个例子。流形是一种局部（即在点的足够小邻域内）“弯曲”的空间，它看上去像通常的欧几里得空间。我们在第10和12章里还会遇到更多的流形。在现代物理的许多领域中，流形概念都是至关重要的概念。特别是在爱因斯坦的广义相对论中，它具有核心地位。流形可看成是由许多不同的拼块拼贴而成的，这种拼贴是无缝的，这一点与§6.3末尾的h（x）函数大不一样。无缝拼贴的性质是指两个拼块之间总能够保证有适当的（开集）重叠（见图8.2（c）和§12.2的图12.5）。

图8.3 我们可通过如下依次交替地取拼块进行粘合的方式来构建log z的黎曼曲面；（a）为去掉非负实数的复平面拼块，（b）为去掉非正实数的复平面拼块。每个（a）拼块的上半部分与下一个（b）拼块的上半部分粘合，每个（b）拼块的下半部分与下一个（a）拼块的下半部分粘合。

在黎曼曲面情形，流形（即黎曼曲面本身）是由不同的“叶”所对应的复平面拼块粘合成一个整体而构成的。像上面的情形一样，最后也有几个有限阶分支点留下的“洞”，而这些洞也一样可以补起来。对于无穷阶分支点，事情要复杂些，这里很难作简单的一般性叙述。

作为例子，让我们来看看对数函数的“螺旋上升”的黎曼曲面。在纸模型上作这种粘合的一个方法，是按如下方式依次交替地取拼块进行粘合：（a）拼块为去掉非负实数的复平面，（b）拼块去掉非正实数的复平面。每个（a）拼块的上半部分与下一个（b）拼块的上半部分粘合，每个（b）拼块的下半部分与下一个（a）拼块的下半部分粘合，见图8.3。初始位置和无穷远位置上是无穷阶分支点——由此我们惊奇地发现，整个螺旋上升结构恰好等价于带有一个单洞的球面，这个洞同样可以补上从而形成完整的球面。**〔8.3〕