7.3 复光滑幂级数

上述表达式是著名的柯西公式的一个特殊情形（常数函数f（z）=2πi），它是根据围绕原点的周线积分来表示一个全纯函数的值：[4]

这里，f（z）在原点是全纯的（即在任何包括原点的区域内都是光滑的），周线是仅包围原点的某个环——或是去掉原点的函数定义域内同调于该周线的任何一个环。由此，我们有一个明显的事实，即函数在原点的取值完全等同于它在原点周边的一系列点上的取值。（柯西公式基本上就是柯西－黎曼方程与上述表达式∮z－1dz=2πi在取小环极限时的共同推论，这里不打算给出细节证明。）

如果在柯西公式里不用1/z，而是用1/zn+1，这里n是某个正整数，则我们得到的是“高阶”柯西公式，它给出f（z）在原点的n阶导数f（n）（z）：

（n！见§5.3。）我们可以指出，这个公式经f（z）的幂级数检验是“正确的”，*〔7.2〕但这相当于用未经证明的结果来举证，因为我们还不知道其幂级数展开是否存在，甚至不知道f（z）的n阶导数是否存在。现在我们只知道f（z）是复光滑的，并不知道它是否具有高于一阶的可微性。但是，我们就先用该公式作为f（z）在原点的n阶导数的定义。然后再将这个“定义”与麦克劳林公式an=f（n）（0）/n！相结合来求得幂级数的系数（见§6.4）

a0+a1z+a2a2+a3z3+a4z4+…，

经过一番工作，我们能够证明这个级数确实在含原点的某个区域内收敛到f（z）。因此，函数在原点附近有由公式给出的n阶导数。**〔7.3〕这种做法包含了证明的要点，它说明包围原点的区域上的复光滑确实意味着函数在原点是（复）解析的（即是全纯的）。

显然，在上面的讨论中，原点没有任何特殊性。像§5.3所做的一样，利用泰勒级数我们同样可以给出f（z）关于复平面上另一点p点处的幂级数。为此我们只要将原点移至p点就可得到“原点位移后”的柯西公式

和n阶导数表达式

这里周线环绕的是复平面上的p点。因此，复光滑意味着在定义域内处处解析（全纯性）。

我选择说明论证的基础，即局部上看，复光滑意味着解析性，而不是单纯地要求读者盲目相信其结果，是因为这是一种数学家经常采用的得到结果的有效方法。不论是论证的前提（f（z）是复光滑的）还是结果（f（z）是解析的）都不包含对周线积分概念或复对数多值性概念的暗示。但是，这些内容为找到正确答案提供了关键线索。我们很难看出有什么“直接”的方法能够做到这一点。关键还在于数学的可鉴赏性。复对数本身的诱人性质就是我们用其进行研究的一个原因。这种内在的魅力显然与对数在其他领域可能的应用无关。其实在很大程度上我们对周线积分的考虑也是如此。基本概念里总具有某种异乎寻常的优美品质，这包括自由的拓扑性和高度的精确性。**〔7.4〕何况还不仅仅是这些完美品质——周线积分还为各不同领域提供了一种强有力的有用的数学工具，它具有复数的各种神奇性质。特别是，它提供了一种估算定积分和无穷级数求和的神奇方法。***〔7.5〕***〔7.6〕它在物理和工程上，在数学的其他分支上，都有许多应用。欧拉要是知道该有多高兴！