7.2 周线积分

诚如§7.1所说，虽然这里不便于给出数学论证的所有细节，但我们不妨看看其概貌。特别是周线积分，它能给读者带来某种理解上的方便。首先，我们来回顾一下上一章给出的定积分的记法，不过现在我们要用复变量z来取代以前的实变量x：

这里g′（z）=f（z）。在实数情形，这个积分是从实线上一点a积到实线上另一点b。沿实线从a到b只有唯一一条路径。但在复公式里，我们可以将a和b看成是复平面上的两点。从a到b有不止一条路径，而是有无数条路径。柯西－黎曼方程告诉我们的是，如果我们沿着某条路径[3]积分，那么得到的结果与沿另一条路径得到的结果是一样的，这另一条路径可以在函数定义域内通过对第一条路径进行连续形变来得到。（见图7.1。这一性质是§12.6所述的“外运算基本定理”的一个简单情形的结果。）对某些函数，如1/z，定义域有一个“洞”（对1/z情形这个洞就是z=0），因此从a到b可有根本不同的路径。这里所谓“根本不同的”是指在函数定义域内一条路径无法通过连续形变而成为另一条路径。在此情形下，a到b的积分值对不同路径会有不同的答案。

这里有必要澄清（或更正）一点。当我谈到一条路径可以通过连续形变而成为另一条路径时，我是指数学家所谓的同调形变，不是指同伦形变。对于同调形变，在路径上切去彼此对等的一段是合法的，只要截去的部分方向相反，见图7.2。能够通过形变由此及彼的两条路径称为属于同一个同调类。相反，同伦形变不容许这种剪切。满足不容许这种剪切的由此及彼形变的两条路径称为属于同一个同伦类。同伦曲线总是同调曲线，但反之不一定成立。在连续运动中，同伦和同调是等价的。因此，它们都是拓扑学的研究对象。我们后面会看到，拓扑学的各个方面在其他领域也起着重要作用。

图7.2 在同调形变中，路径的某些部分可以彼此抵消，如果它们的路径方向正好相反的话。有时这会产生一个分离的环。

函数f（z）=1/z就是一种路径不同调时答案不唯一的函数。我们从对数上可看到为什么必然如此。在上一章末我们曾指出，log z是1/z的不定积分。（实际上，我们只针对实变量x进行过论述，但个中道理对相应的复数情形也是适用的。这是一个一般性的原理，我们也用到其他显函数上。）因此我们有

但从§5.3我们知道，复对数可以有不同的“答案”，而且我们可以从一个答案连续变换到另一个答案。为了说明这一点，我们固定a而使b变动。我们可以让b沿正向（逆时针）绕原点连续转一周（图7.3（a）），最后回到原出发地。从§5.3可知，log b的虚部就是幅角（即b沿正向绕实轴转过的角，见图5.4（b））。因此转动带来的是幅角严格增加2πi（图7.3（b））。这样，当积分路径沿正向绕原点转一周，积分值也增加了2πi。

我们可以按闭周线来重新得到这个结果，其存在性是复分析最具特色和最有力的一个方面。我们来考虑两条路径之间的差别，就是说，我们先将第二条路径变换成第一条，然后再按反方向对第一条进行变换（图7.3（c））。我们在同调的意义上来考虑这种差别，因此可以截去“往返两次”的部分，并对余下部分通过连续变形进行取直。于是我们得到一条闭合路径——周线——仅绕原点转一圈的环（图7.3（d）），它与a或b的位置无关。这是一个（闭）周线积分的例子，通常用符号∮表示。我们发现，*〔7.1〕

图7.3 （a）从a到b积分z－1dz得到log b－log a。（b）固定a，令b绕原点逆时针转一圈，则log b增加2πi。（c）然后沿原路径再返回到a。（d）当自a始的重合路径被切去后，剩下的是一个逆时针闭周线积分∮z－1dz=2πi。

当然，在用这个符号时，我们必须仔细弄清楚实际所用的周线是哪一条——或干脆说，用的周线属哪个同调类。如果周线绕了两次（沿正向），则我们得到的是4πi。如果是沿反向（即顺时针）绕原点一次，则答案是－2πi。

有趣的是，用闭周线得到非平凡解的这种性质强烈依赖于复对数的多值性，这是对数定义所带来的繁复性的一个特点。这并不奇怪，实际上，复分析的力量正取决于此。在下面的两个自然段里，我将概述这种性质的含义。我希望非数学出身的读者能够从中有所领悟。我相信这种讨论能够反映出数学论证中所具有的那种地道的、惊人的性质。