7.4 解析延拓

现在我们有了绝好的结果：某区域上的复光滑等价于在该区域的任一点上存在幂级数展开。但我应当把这里的“区域”解释得更清楚一点。技术上说，我这里指的是数学家们所谓的开区域。所谓某一点a处于区域内，是指存在一个以a为圆心的圆，它的内部也都处于该区域内。这么说可能不是很直观，让我们来看一个例子。一个单点不是一个开区域，也不是通常的曲线。但复平面上单位圆的内部，即那些距原点距离严格小于单位长的点组成的点集，则是开区域。这是因为任何一个严格处于该圆之内的点，不论它多么靠近边界，总可以用一个更小的圆来包围，而这个更小的圆的内部仍严格处于单位圆内（图7.4）。另一方面，由那些距原点距离严格小于或等于单位长的点组成的闭圆盘则不是开区域，因为此时包括了圆周边界，而圆周上的任意一点则不具有上述性质，即不存在包围该点的一个圆，其内部均处于该区域之内。

图7.4 开的单位圆盘｜x｜＜1。任何一个严格处于该圆盘之内的点，不论它多么靠近边界周线，总可以用一个更小的、其内部严格处于单位圆内的圆来包围。而闭圆盘｜x｜≤1则由于包括了周线上的点因而做不到这一点。

现在我们来考虑某个全纯函数f（z）的定义域[5]D，这里我们取D为开区域。在D上的每一点，函数f（z）都是复光滑的。因此，由上述可知，如果我们取定D中某一点p，则在含p的某个适当区域内有f（z）关于p的收敛的幂级数。这个“适当”区域有多大呢？大致可以这么说，对一个特定的p，幂级数不可能在整个D上都成立。回忆一下§4.4的收敛圆可知，这是以p为中心的某个圆（半径可以无限大），对严格处于该圆内的点，幂级数收敛，但对严格处于该圆外的点z则不收敛。假定f（z）在q点有奇点，即在该点上f（z）不可能延拓同时保持复光滑（例如，原点q=0是f（z）=1/z的奇点，见§7.1。奇点通常是指函数的“奇异点”，正则点则是函数非奇异的地方，从而也是全纯的地方），那么收敛圆就不能大到将q包含到其内部。因此我们有大大小小一系列收敛圆（通常数目上无限大），它们总合起来覆盖整个D，而不是用单独一个圆来覆盖它。f（z）=1/z的情形图示了这个问题（图7.5）。这里定义域D是去掉原点的复平面。如果在D中选取一点p，则收敛圆就是以p为圆心过原点的圆。**〔7.7〕我们需要无穷多个这样的圆来覆盖整个区域D。

图7.5 对f（z）=1/z，其定义域D是去掉原点的整个复平面。D中任意一点p的收敛圆是以p为中心、p到原点距离为半径的圆。为了覆盖整个D，我们需要（无数个）这样的圆拼块。

这向我们提出了一个重要的解析延拓的问题。假定在某定义域D内有全纯函数f（z），我们来考虑这样一个问题：我们能够将D延拓到更大的区域D′使得f（z）在D′上也是全纯的吗？例如，f（z）取特定收敛圆内收敛的幂级数形式，我们要将f（z）延拓到圆外。这常常是可能的。在§4.4，我们考虑了级数1－z2+z4－z[6]+…，它有单位圆作为收敛圆，同时可自然延拓到函数（1+z2）－1，它在去掉两点+i和－i的整个复平面上是全纯的。因此，这个例子表明，函数确实可解析延拓到远大于原初给定的定义域上。

图7.6 全纯函数可用一系列点的一系列幂级数表达式来解析延拓。这个过程沿连接路径是唯一的，如果相应的收敛圆相互重叠的话。

在这个例子中，我们能够写出一个清楚的函数公式，但在更多的场合下这并不容易。尽管如此，我们毕竟有了一个用以解析延拓的一般程序。我们可以这么来做：先从某个小区域开始，在该区域上我们有全纯函数f（z）的一个局部有效的幂级数表达式。然后我们试着沿某条路径在不同点不断重复应用幂级数来延拓函数。我们沿路径取一系列点，并对每个点取幂级数，这样就得到了一系列幂级数表达式。只要这一系列收敛圆的内部是相互重叠的，这么做就是可行的（图7.6）。这个程序执行完，则结果函数也就由函数在原区域的取值和沿路径的延拓唯一地确定了。

图7.7 从z=1开始，沿逆时针环绕原点的路径（顺序依次为1，ω，ω2，1，ω=e2πi/3）解析延拓f（x）=log z。我们发现，f增加了2πi。

因此，这个解析延拓的过程显示了全纯函数的“刚性”。而在实C∞函数情形，对函数的作用我们可能会“随时改变主意”（像§6.3的光滑补丁h（x），它对所有负的x值会突然取零而“截断”），而这在全纯函数上是不可能发生的。函数一旦在原区域取定，路径也取定，则函数拓展的选择是唯一的。事实上，这一性质对实变量的实解析函数也是成立的，它们不仅有类似的“刚性”，而且路径也基本上是唯一的，只有一个方向或沿实线方向。而在复函数情形，由于二维复平面上路径的自由度要大得多，因此解析延拓也更有趣。

为了说明这一点，我们仍来考虑log z。由于它在原点的奇异性，显然它在原点没有幂级数展开式。但如果我们愿意，我们可以作关于点p=1的展开，即得到级数**〔7.8〕

收敛圆是以z=1为圆心的单位圆。我们围绕原点按逆时针方向取一系列这样的单位圆来进行解析延拓。我们可以取关于点1，ω，ω2等最后回到1的一系列幂级数，这样围绕原点转一圈最后回到出发点（图7.7）。图中我用了§5.4末讨论的三次方单位根1，ω=e2πi/3和ω2=e4πi/3，绕原点的路径取等边三角形。当然，我也可以取1，i，－1，－i，1，那样要稍微麻烦点儿。但不管怎样，我们都没必要写出幂级数，因为我们已经知道了函数本身的明确答案，即log z。问题是当我们绕原点转了一圈后，发现已将函数唯一地扩展为不同于起初的一个新的值。就是说，我们转了一圈，函数增加了2πi。如果我们沿反方向转一圈，则需从原函数值上减去2πi。因此，解析延拓的唯一性可以是非常敏感的，它唯一取决于所取的路径。对比log z更复杂的多值函数，我们依然可以通过较增加一个常数（如2πi）更复杂的操作来得到某个值。

顺便指出，解析延拓的概念不必特指幂级数，尽管事实上它们在我的一些描述中很管用。例如，在数论里，就有另一类级数起着重要作用，它们称为狄利克雷级数。其中最重要的当属（欧拉－）黎曼ζ函数，6它定义为下述的无限和[7]

ζ（z）=1－z+2－z+3－z+4－z+5－z+…，

当z的实部大于1时它收敛到全纯函数ζ（z）。这个函数的解析延拓在去掉点z=1之外的整个复平面上是唯一的（并且是“单值的”）。如今最重要的未解决数学问题大概要算是黎曼猜想了，它与解析延拓了的ζ函数的零点有关，即与ζ（z）=0的解有关。对z=－2，－4，－6，…容易看出它们是ζ（z）=0的解，这些是实零点。黎曼猜想认为，所有其余的零点都处于Re（z）=的直线上，就是说，仅当z的实部等于时，ζ（z）为零（除非z是负偶数）。所有的数值计算都支持这个猜想，但它的真理性至今尚不得而知。它对素数理论有着基本的深远影响。[8]