第七章 复数微积分

7.1 复光滑，全纯函数

我们如何理解复函数f（z）的可微概念呢？要在本书中对这个问题做充分说明显然是不合适的。[1]即使是对§6.2里的实函数我也没做细节展开。但我至少可以就所涉要点进行一些阐述。下面就是对实现复数微分所需的要点所作的一个简单介绍，在这之后我将对某些出人意料的方面稍作展开。

对复数微分，大体上说，我们要求复曲线w=f（z）在函数定义域内的任意点z上有“斜率”概念。（函数f（z）及其变量z都可取复值。）为使这个“斜率”概念有意义，当我们在z的复平面上沿任意方向变动z时，f（z）必须满足一对特定的方程，称为柯西－黎曼方程[2]（涉及f（z）的实部和虚部关于z的实部和虚部的导数，见§10.5）。这些方程给出了一些有关复数积分的相当有趣的结果——它使我们能够定义新的称为周线积分的积分概念。根据这种周线积分，我们可导出关于f（z）的n阶导数的一个漂亮公式。这样，一旦我们有了一阶导数，所有高阶导数也就迎刃而解了。

然后，我们再用这个公式得到f（z）的泰勒级数的各个系数，同时必须证明这个级数收敛到f（z）。有了这些结果之后，我们就得到了f（z）在z复平面上某个圆内的泰勒级数表达式，f（z）在其中有定义并可微。你会发现，这是个奇迹：复光滑的任意复函数必然都是解析的！

与此相应的是，复分析在确认某些“粘合”的C∞函数（如上一章的“h（x）”）的求极限方面没有任何问题。复光滑的力量一定会让欧拉感到欣慰。（不幸的是，欧拉有点生不逢时，当柯西在1821年首次发现这种复光滑的神奇力量时，欧拉已去世38年了。）我们看到，复光滑为“欧拉函数”概念提供了一种比幂级数展开更为简洁的表达方式。而且从复数观点看，这种函数还带来另外的好处。回想一下，让人头痛的“1/x”看上去像是“一个函数”，尽管实曲线y=1/x是由分离的两段组成，就是说这两段之间不存在“解析的”连接点。而从复数上看，显然1/z就是一个函数。函数在复平面上唯一“出错”的地方就是原点z=0。如果我们从复平面上抠掉这一点，剩下的仍是一个连通的区域。x＜0的实线部分与x＞0的部分通过复平面连接。因此，1/z确实是一个连通的复函数，这与实数情形有很大的不同。

这种意义上的复光滑（复解析）函数称为全纯的。全纯函数在我们后面的内容里占有重要的地位。我们将看到，在第8章，其重要性表现在将共形映射与黎曼曲面联系起来；在第9章则反映在傅里叶级数（波动理论的基础）上。它们在量子力学和量子场论方面也起着至关重要的作用（见§24.3和§26.3）。它们还是某些新物理理论发展的基础（特别是在扭量理论（第33章）和弦论（§§31.5，11，12）中更是如此）。

图7.1 从a到b的不同路径。全纯函数沿某条路径积分的结果与沿f的定义域内另一条路径得到的结果是一样的。如果某个函数的定义域内有“洞”（例如1/z函数在z=0处），那么路径间的形变就会有障碍，因此得到的将是不同的答案。