1.3 刚体绕定轴的转动

刚体定轴转动的定义

刚体在运动过程中，当其上有且只有一条直线始终固定不动时，称刚体绕定轴转动，该固定直线称为轴线或转轴（图1-11中z轴即为转轴）。

刚体定轴转动的运动方程

设有一个刚体T相对于参考系绕固定轴z转动，如图1-11所示。为了描述整个刚体的运动，首先要确定刚体在任意一个瞬时的位置。为此，通过固定轴z作一个固定平面Q，再选一个与刚体固连的平面P。由于刚体上各点相对于平面P的位置是一定的，因此，只要知道平面P的位置，也就知道了刚体上各点的位置，即整个刚体的位置。而平面P在任意一个瞬时t的位置可由它与固定平面P的夹角φ来确定，称为位置角（angle of position）或转角，其单位为弧度。规定从平面Q到平面P，若从z轴的正向朝负向看去为逆时针转向，则φ为正值，反之为负值。当刚体转动时，位置角φ随时间t变化，是时间t的单值连续函数，可表示为

式(1-16)称为刚体的转动方程，它反映了刚体绕定轴转动的规律。如果已知函数f(t)，则刚体任意一个瞬时的位置即可以确定。

刚体定轴转动的角速度

为了度量刚体转动的快慢和转动方向，引入角速度（angular velocity）的概念。设在时间间隔Δt内，刚体转角的改变量为Δφ，则刚体的瞬时角速度定义为

即刚体的角速度等于转角对时间的一阶导数。

刚体定轴转动的角速度是一个代数量，其正负号分别对应于刚体沿转角φ增大或减小的方向转动。角速度的单位是弧度/秒（rad/s）。在工程中很多情况下还用转速n（单位为r/min）来表示刚体转动速度。此时，ω与n之间的换算关系为

刚体定轴转动的角加速度

为了度量角速度变化的快慢和转向，引入角加速度（angular acceleration）的概念。设在时间间隔Δt内，转动刚体角速度的变化量为Δω，则刚体的瞬时角加速度定义为

即刚体的角加速度等于角速度对时间的一阶导数，也等于转角对时间的二阶导数。角加速度α的单位为弧度/秒2（rad/s2）。

定轴转动刚体上各点的运动

设刚体绕轴O转动，角速度为ω，角加速度为α，现讨论刚体上任意点M的运动，如图1-12所示。以OO＇为基准线，φ角逆时针为正。以O＇为原点建立点M的弧坐标，则

s=Rφ

所以，点M的速度大小为

这表明，某瞬时转动刚体内任意一点的速度大小等于该点的转动半径与该瞬时刚体角速度的乘积，速度方向沿着圆周的切线方向，指向与刚体的转动方向相同。

进一步地，点M的切向加速度和法向加速度分别为

上述结果表明，转动刚体上任意一点切向加速度的大小等于该点的转动半径与该瞬时刚体角加速度的乘积，方向与转动半径垂直，指向与角加速度的转向一致；法向加速度的大小等于该点的转动半径与该瞬时刚体角速度平方的乘积，方向指向转动中心。

于是，刚体上任意一点M的加速度大小为

方向为

式中，θ为切向加速度与法向加速度的夹角。

由上，刚体上任意一点M的加速度矢量可以表示为

a=aττ+an n=rατ+rω2n

例题1-5

电影胶片以恒速v从卷盘中拉出，从而带动卷盘与尚未拉出的胶片一起做绕固定轴的转动，如例题图1-5所示。若胶片的厚度为δ，正滚动着的胶片的半径为r，试求卷盘的角加速度α。设δ与r相比很小。

分析：随着胶片被拉出，胶片的半径不断变化，其变化速度为每转一周减小一个胶片的厚度δ。拉出速度v、胶片半径r和卷盘的角速度之间满足式(1-20)，由此关系可求角加速度。

解：

由刚体绕定轴转动的速度公式，得

将其对时间t求导，且考虑到v=常量，有

所以

设卷盘中的胶片的初始半径为r0。显然，这些胶片每转一周，其半径r就减小一个胶片的厚度，当卷盘转过φ角时，半径r为

对时间求导，得

将式(c)代入式(b)中，并考虑到式(a)，有

用矢量积表示点的速度与加速度

研究图1-13(a)所示的刚体定轴转动，其中，轴Oz为刚体的转动轴。设转轴Oz的单位矢量为k，则刚体角速度与角加速度可以分别表示为矢量ω和α，即

分别称为角速度矢量和加速度矢量，如图1-13(b)所示。用右手螺旋法确定角速度矢量ω和角加速度矢量α的方向，如图1-13(c)所示。当ω.α＞0时，两者同向，刚体做加速转动；当ω.α＜0时，两者反向，刚体做减速转动。

将角速度与角加速度分别用矢量ω和α表示后，则转动刚体上任意一点M的速度、切向加速度和法向加速度都可以用矢量积来表示，如图1-14所示。其中，速度矢量可表示为

大小为|v|=ω. r sinθ=ωρ；方向由右手螺旋法则确定。可见，矢量积ω× r的方向正是速度矢量v的方向。

加速度矢量可表示为

式中

α× r=a τ, ω× v=a n

下面考察固连在刚体上的动系O＇x＇y＇z＇的单位矢量＇i , ＇j , k＇，如图1-15所示。记其端点分别为M1,M2,M3，由式(1-21)可得

所以

v M1=ω× i＇, v M2=ω× j＇, v M1=ω× k＇

于是，得

式(1-24)称为泊松公式。