1.3 计算动态系统的路径

假定控制律由确定时不变动态系统来描述。在本书的其余部分中，将这种编码方式称为动态系统。动态系统可以用来描述机器人路径的时间演化。令x∈ℝN表示机器人的状态。空间中的路径动力学由状态时间导数来描述，

其中，f：ℝN→ℝN是光滑连续函数。

请注意，用一阶导数进行控制并不具有约束性。正如我们将在第7章看到的，同样的原理可以应用于控制机器人加速的二阶控制规则。

式（1.3）中的动态系统称为自主或时不变动态系统，因为其演化明显不依赖于时间。时间变量是隐性的且在方程的状态变量中表示为时间导数（此处为）。f是确定性的。因此，机器人状态的时间变化仅取决于机器人的当前状态和位置x。f（x）表示机器人的路径。在执行任务期间，空间位置的变换仅取决于机器人的当前状态和环境。这种控制律被称为状态依赖型方法。消除控制律对显性时间的依赖是有利的，因为这样我们就不必在更新路径时重新计算到达目标的时间。虽然这将导致无法确定机器人何时到达目标，但1.7节和第7章中表明，可以通过将系统耦合到目标动力学中并强制两者同步运动来避免这一问题。

机器人的路径可以从初始状态x（0）正积分f（x）得到。当从一系列初始状态开始时，这可以通过用向量运动场的积分来绘制路径积分进行可视化。图1.4展示了触球的二维示例。每条线表示一条路径，通过计算从初始点x（0）经过一段时间的状态{x（1），x（2），…}得到。一旦到达目标，我们就停止计算。

图1.4 一个在目标处渐近稳定的时不变动态系统通向球的路径的多重性，用x*表示。每条线表示动态系统从初始状态开始的时间演化