1.3.1 稳定系统

如果不显式地控制稳定性，则时不变动态系统可能是不稳定的。如果系统在平衡点的邻域之外初始化，则可能偏离目标。这方面内容将在第3章中详细描述。

为了使用本章所述的时不变系统来控制机械臂到达球的位置，我们必须让控制器在球的位置x*处停止。此外，为了确保它仅在球处停止，必须要求球的位置是动态系统的唯一稳定点。形式上，这相当于要求系统在x*处有一个固定点（即f（x）≠0，∀x≠x*，f（x*）=0），并且所有路径对此点趋于稳定。如果要求路径稳定到x*（球的中心），就可以确保所有路径都会指向球。因此，我们设定：

如果系统满足式（1.4），则从任意点x到目标x*存在唯一路径。动态系统的渐近稳定性和时不变性提供了对扰动的天然鲁棒性。想象一下，在前往球的路径上，机器人被推离其原始轨迹来到一个新的位置x′。由于空间中任意点的所有轨迹最终都会收敛到球的位置，因此无须重新生成路径，只需遵循由f生成的路径（见图1.5）。为了简化计算，我们将系统的原点放在球上，因此目标的位移相当于机械臂在空间中的相对位移，如图1.5b所示。

图1.5 设置机器人沿着深灰色路径移动到位于x*的球，但在机器人到达球的位置之前，球会移动（图a）。如果球的新位置是动态系统的唯一稳定点，并且如果动态系统在球的位置处渐近稳定，则存在将机器人引导到球的唯一路径。该路径通过跟随动态系统的向量场生成，如图b所示

使系统针对目标（本例中为球）准确掌握位置变化的一种简单方法是将系统原点放置在球上。这意味着x*=0，因此，整个路径对原点是渐近稳定的。然后计算机器人相对于球的运动。如果球移动得离机械臂更远，这相当于将机械臂移动到了一个新位置x′。如前文所述，只需要将新位置代入f，就可以确保最终到达球的位置。图1.6显示了一种实现方法，用于控制仿人机器人的机械臂抓取沿斜坡滚动的球。球路径中的障碍物会导致球偏离其原始轨迹。

图1.6 仿人机器人iCub抓取滚下斜坡的球。当球在途中碰到障碍物时，它的路径是相交的。机器人的机械臂根据球新的轨迹调整移动路径。当球到达桌子末端时，它会根据需要加速和减速，从而在合适的位置准确抓住球

同样的原理也可以推广到非对称物体上，例如抓住掉落的瓶子。如果不仅在物体上设置动态系统的原点，还沿物体的主轴设置参考系，将导致动态系统生成的运动轨迹与物体的轴对齐。当物体下落和旋转时，预期路径将在平移和旋转上对齐机器人的路径，以满足抓取物体的正确姿势，如图1.7所示。

图1.7 为了准确地掌握物体的方向和位置变化，可以将原点和参考系设置在物体上